Թեմա՝ Սեղանի մակերեսը։

Առաջադրանքներ։

1․ Ունենք ուղղանկյուն սեղան, որի հիմքեր են 9սմ ,18սմ, իսկ մեծ սրունքն, որն հիմքի հետ կազմում է ∠30° -ի անկյուն, հավասար է 16սմ ։ Գտնել սեղանի մակերեսը։

S=108սմ²

2․ Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, միջին գիծը 10 սմ է, իսկ բարձրությունը 4 սմ: Գտնել սեղանի հիմքերը և մակերեսը:

Հիմքերը — 12սմ, 8սմ
S=40սմ²

3․ Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյունը 135^օ է, իսկ այդ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ հիմքը տրոհում է 1,4 սմ և 3․4 սմ հատվածների։ Գտնել սեղանի մակերեսը:

S=4,76սմ²

4․ Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 10 մ է, բարձրությունը՝ 3 մ, իսկ սրունքի և մեծ հիմքի կազմած անկյունը՝ 45⁰: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և մակերեսը։

Փոքր հիմքը — 4սմ
S=21սմ²

Թեմա՝ Սեղանի մակերեսը։

Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

S_ABCD=S_ABD+S_DBC S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2

Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝

S_սեղան=a+b/2⋅h

Ուշադրություն

Նշենք մի քանի կարևոր հետևանքներ:

1. Եթե եռանկյունների բարձրությունները հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես հիմքերը:

2. Եթե եռանկյունների հիմքերը հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես բարձրությունները:

3. Եթե եռանկյունների բարձրություններն ու հիմքերը հավասար են, ապա եռանկյունները հավասարամեծ են: Օրինակ՝ միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:

Առաջադրանքներ։

1․ Սեղանի հիմքերը 3 մ և 7 մ են, իսկ բարձրությունը՝ 6 մ: Հաշվիր սեղանի մակերեսը:

3+7/2×6=30

2․ Ո՞ր հատվածի երկարությունն է հավասար սեղանի հիմքերի կիսագումարին:

միջնուղղահայացի
միջին գծի
անկյունագծի

3․Գտնել AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21 սմ, BC=17 սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,

21+17/2×7=133սմ

բ) ∠D=30, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,

10+5/2x√57,75=7,5x√57,75=56,9

գ) CD⊥AD, AD=13սմ, CD=8սմ, BC=5սմ:

13+5/2x√48=9x√48=62,3

5․ ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10 սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ² է: Գտեք սեղանի մակերեսը:

(10+8):2×6=54

6. Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30 սմ² է, պարագիծը՝ 28 սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3 սմ: Գտնել սեղանի մեծ սրունքը:

Սրունքը 5սմ է։

7. Գտնել ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135^o:

(12+6):2=9
9×6=54
Պատ․՝54սմ²։

8․ Տրված է ուղղանկյուն սեղան, որի փոքր հիմքը 6 սմ է: Փոքր սրունքը 18 սմ է, իսկ մեծը՝ հիմքի հետ կազմում է ∡45° -ի անկյուն: Գտնել սեղանի մակերեսը:

(6+18+6):2=15
15×18=270
Պատ․՝270սմ²։

Թեմա՝ Բազմանկյան մակերեսի հասկացությունը։ Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսները։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է բազմանկյան մակերեսը։

Բազմանկյան մակերեսը մակերեսի այն հատվածն է, որը սահմանափակված է բազմանկյան կողմերով

2․ Գրել բազմանկյան մակերեսի հատկությունները։

Մակերեսի չափման միավորը քառակուսի միավոր է (սմ², մ², դմ² և այլն)։ Հավասար մակերեսներ ունեցող բազմանկյունները հավասարամեծ են։ Եթե բազմանկյան մի կողմը երկարացնենք կամ կրճատենք, ապա մակերեսը փոփոխվում է։ Բազմանկյան մակերեսը կարելի է գտնել այն բաժանելով ավելի պարզ բազմանկյունների։

3․ Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում հավասարամեծ։

Երկու բազմանկյուններ կոչվում են հավասարամեծ, եթե ունեն նույն մակերեսը։

4․ Գրել քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևերը։

Քառակուսու մակերես՝ S=a2S = a^2S=a2 (որտեղ aaa քառակուսու կողմն է)։

Ուղղանկյան մակերես՝ S=a×bS = a \times bS=a×b (որտեղ aaa և bbb ուղղանկյան կողմերն են

5․ Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝

ա) 1,3 սմ, բ) 35 դմ, գ) 201 մ դ) 0,45 մ

a=1.3a = 1.3a=1.3 սմ → S=1.32=1.69S = 1.3^2 = 1.69S=1.32=1.69 սմ²
a=35a = 35a=35 դմ → S=352=1225S = 35^2 = 1225S=352=1225 դմ²
a=201a = 201a=201 մ → S=2012=40401S = 201^2 = 40401S=2012=40401 մ
a=0.45a = 0.45a=0.45 մ → S=0.452=0.2025S = 0.45^2 = 0.2025S=0.452=0.2025 մ²

6․ Որոշել այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝

ա) 36 սմ², բ) 64 դմ², գ) 6,25 մ², դ) 0,81 մ²:

a=0.45a = 0.45a=0.45 մ → S=0.452=0.2025S = 0.45^2 = 0.2025S=0.452=0.2025 մ²
a=1.3a = 1.3a=1.3 սմ → S=1.32=1.69S = 1.3^2 = 1.69S=1.32=1.69 սմ²
a=35a = 35a=35 դմ → S=352=1225S = 35^2 = 1225S=352=1225 դմ²
a=201a = 201a=201 մ → S=2012=40401S = 201^2 = 40401S=2012=40401 մ²

7․ Քառակուսու մակերեսը 49 սմ² է: Գտնել քառակուսու կողմը և քառակուսու մակերեսն արտահայտել քառակուսի միլիմետրով,
S=49 սմ² → a=49=7a = \sqrt{49} = 7a=49​=7 սմ S=49×100=4900S = 49 \times 100 = 4900S=49×100=4900 մմ²

8․ ա) Քանի՞  անգամ  կմեծանա քառակուսու մակերեսը, եթե նրա բոլոր կողմերը մեծացվեն  3 անգամ,

բ)Քանի՞  անգամ  կփոքրանա  քառակուսու մակերեսը բոլոր կողմերը փոքրացվեն 2 անգամ:

գ) Քանի՞ անգամ պետք է մեծացնել քառակուսու կողմը, որպեսզի նրա մակերսը սկզբնականից մեծանա 36 անգամ:

ա) Եթե կողմերը մեծացնենք 3 անգամ, մակերեսը կմեծանա 32=93^2 = 932=9 անգամ։

բ) Եթե կողմերը փոքրացնենք 2 անգամ, մակերեսը կփոքրանա 22=42^2 = 422=4 անգամ։

գ) Եթե մակերեսը պետք է մեծանա 36 անգամ, ապա կողմը պետք է մեծացնենք 36=6\sqrt{36} = 636​=6 անգամ։

9․ Գտնել ուղղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմերը հավասար են՝ ա) a=5 սմ, b=6սմ, բ)a=2,5 մ, b=4 մ գ) a=2,1 սմ, b=3,5 սմ

ա) S=5×6=30S = 5 \times 6 = 30S=5×6=30 սմ²

բ) S=2.5×4=10S = 2.5 \times 4 = 10S=2.5×4=10 մ²

գ) S=2.1×3.5=7.35S = 2.1 \times 3.5 = 7.35S=2.1×3.5=7.35 սմ²

10․ Գտնել ուղղանկյան անհայտ կողմը, եթե ուղղանկյան մակերեսը 24 սմ², իսկ կողմերից մեկը 4 սմ է։

S=24 սմ², a=4a = 4a=4 սմ b=S/a=24/4=6

b = S / a = 24 / 4 = 6b=S/a=24/4=6 սմ

Թեմա՝ Պատկերացում գլանի մասին։

Ծանոթանանք տարածական այնպիսի մարմինների, որոնց մեջ շրջանագիծը նրա մասն է և ունի կարևոր դեր։ Սահմանում ` Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։ Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում գլան։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գլան:

2․ Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ գլան։

Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

3․ Ո՞րն է գլանի առանցքը, հիմքերը, շառավիղը, առանցքային հատույթը և ծնորդը։

Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ: Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

4․ Ի՞նչ պատկեր է գլանի առանցքային հատույթը։

Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է։

5․Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է: Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը:

Եթե գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է, ապա գնալի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը հավասար է 2:1:

6․ Գլանի առանցքային հատույթը 40սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Գտեք գլանի շառավիղը:

r=15սմ

7․Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60⁰-ի անկյուն: Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6սմ է:

12սմ

8․ Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով: Գոլորիշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին: Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը:

Շրջանագիծ

9․ Գլանաձև ցիստեռնի մի մասը լցված է հեղուկով: Ի՞նչ պատկեր է հեղուկի մակերևույթը: Դիտարկեք ցիստեռնի տեղադրման երկու դեպք՝ ուղղաձիգ և հորիզոնական:

Առաջին դեպքում շրջանագիծ, երկրորդ դեպքում էլ ուղղանկյուն։

Թեմա՝ Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը։

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր: Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում։

Արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով:

∡AOH=360°/n;∡AOK=360°/2n=180°/n

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանկյունն է կոչվում կանոնավոր։ Բերել օրինակներ

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր: Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

2. GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր եռանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։

3․GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր քառանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։

4․Ճշմարի՞տ է արդյոք հետևյալ պնդումը․

ա) յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանկյուն ուռուցիկ բազմանկյուն է,

Այո

բ) ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյուն կանոնավոր բազմանկյուն է։

Ոչ

5․Հետևյալ պնդումներից որո՞նք են ճշմարիտ․

ա) բազմանկյունը կանոնավոր է, եթե այն ուռուցիկ է, և նրա բոլոր կողմերը հավասար են,

Այո

բ) եռանկյունը կանոնավոր է, եթե նրա բոլոր անկյունները հավասար են,

Այո

գ) հավասար կողմերով յուրաքանչյուր քառանկյուն կանոնավոր քառանկլյուն է։ Պատասխանները հինմավորել։

Այո

6․ Տրված է 13,4 դմ կողմով EFGH քառակուսին:

ա) Հաշվիր քառակուսուն ներգծված շրջանագծի շառավիղը:

13.4մ / 2 = 6.7դմ

բ) Հաշվիր քառակուսու մակերեսը:

13.4դմ * 13.4դմ = 179.56դմ^2

7․Տրված է հավասարակողմ եռանկյուն, BO=16սմ: 

ա) Գտնել ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

8սմ

բ)Գտնել հետևյալ հատվածների երկարությունները:

 OE, BE, AD։

OE = 8սմ
BE = 8սմ
AD = 8սմ

Թեմա՝ Կանոնավոր բազմանկյուն:

Կանոնավոր բազմանկյուն է կոչվում այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները  և բոլոր կողմերը հավասար են։

Կանոնավոր բազնանկյունների օրինակներ են հավասարակողմ եռանկյունը և քառակուսին։

Նկարում բերված են կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ՝ եռանկյուն (հավասարակողմ), քառանկյուն (քառակուսի), հնգանկյուն, վեցանկյուն:

Արտածենք կանոնավոր n-անկյան α_n անկյունը հաշվելու բանաձևը։ Այդպիսի n-անկյուն բազմանկյան բոլոր անկյունների գումարը հավասար է (n-2) x 180^o։ Քանի որ նրա բոլոր անկյունները հավասար են, ուստի՝

α_n= x 180°

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․Ո՞ր բազմանկյունն է կոչվում կանոնավոր:

Կանոնավոր բազմանկյուն է կոչվում այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները  և բոլոր կողմերը հավասար են։

2.Գրել կանոնավոր բազմանկյան անկյան հաշվման բանաձևը:
α_n= (n-2)/n * 180°

3. GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր բազմանկյուններ:

4. Գծագրից գտնել ուռուցիկ բազմանկյունները և նշել նրանց համարները:

1; 6; 9; 10

5. Գտնել կանոնավորn-անկյան անկյունները, եթե՝

ա) n=3
բ) n=5
գ) n=6
դ) n=10
ե) n=18

6. Որոշել կանոնավոր 15 -անկյան ներքին և արտաքին անկյունները:

7. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է`  ա) 150^o  բ) 135^o  գ) 90^o  դ) 60^o   ե)30^o

8. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա արտաքին անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է՝  ա) 40^o   բ) 36^o   գ) 30^o   դ) 24^o

9. Որոշել կանոնավոր բազմանկյան կողմերի թիվը կամ եզրակացրու, որ այդպիսի բազմանկյուն գոյություն չունի, եթե տրված է բոլոր ներքին անկյունների գումարը:

ա) Եթե անկյունների գումարը 2050 աստիճան է, ապա բազմանկյունը գոյություն ….., կողմերի թիվը` …..:

բ) Եթե անկյունների գումարը 1980 աստիճան է, ապա բազմանկյունը գոյություն ……, կողմերի թիվը` …..:

Թեմա՝ Երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը։

Հարթության մեջ երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը կախված է՝

• նրանց կենտրոնների դասավորությունից, 
• նրանց շառավիղների երկարություններից: 

Հնարավոր է երեք դեպք:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են՝ ունեն երկու ընդհանուր կետ:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են՝ ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Դիտարկենք հնարավոր դեպքերը:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են. ունեն երկու ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների գումարից:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են. ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը՝

• արտաքին շոշափում,
• ներքին շոշափում:

Արտաքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների գումարին:

Ներքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների տարբերությանը:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Այս դեպքում ևս հնարավոր է երկու դեպք:

• Երկու շրջանագծերով սահմանափակված շրջանները չեն հատվում:
• Փոքր շառավղով շրջանը ընկած է մեծ շառավղով շրջանի մեջ:

Առաջին տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը մեծ է շառավիղների գումարից:

Երկրորդ տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների տարբերությունից:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչպիսի՞ հնարավոր դասավորվածություն կարող են ունենալ տրված շրջանագծերը եթե նրանց կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է 20սմ, իսկ շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են՝ ա) 15 սմ և 10 սմ բ) 10 սմ և 10 սմ գ) 5սմ և 7 սմ: GEOGEBRA ծրագրով գծել ստացված պատկերները։

Հատվող

Շոշափող

Կետ ունեցող

2.Հարթության վրա երկու իրարից տարբեր շրջանագծեր կարող են (ընտրիր ճիշտ պատասխանները)՝ 

• չհատվել
• չունենալ ընդհանուր կետ
• հատվել երեք կետերում
• ունենալ 6 ընդհանուր կետ

3․Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն շրջանագծերը: Ընտրել ճիշտ տարբերակը:

• 2
• անվերջ թվով
• 1
• 0

4․Գտնել ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

AC=AE=4
AD=5
ED=AD-AE=5-4=1

5․Գծել տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ: Հաշվել OB հեռավորությունը:

OB=28+10=38

6․ Տրված են այս երկու շրջանագծերը, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r₁-ը և r₂-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են: Ընտրել ճիշտ պնդումը:

• OB>r₁+r₂
• r₁+r₂=OB
• r₁+r₂>OB

Թեմա՝ Արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  

Եթե քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ արտագծել, ապա տեղի ունի հետևյալ հատկությունը՝ Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

Հետևյալ հատկության միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Ի տարբերություն քառանկյունների, բոլոր տեսակի եռանկյուններին հնարավոր արտագծել շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: 

Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը): 

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  արտագծյալ:    

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

2․ Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  արտագծել  տրված  եռանկյանը:

2

3․ Հնարավո՞ր  է  արդյոք  ցանկացած  քառանկյան  արտագծել  շրջանագիծ: 

Ոչ

4․ Ի՞նչ  հատկություն  ունի  շրջանագծին  ներգծված  քառանկյունը:

Պտտվող անկյան հատկություն, պտտվող քառանկյան հատկություն, պտտվող անկյունների հավասարություն։

5․Սեղանին արտագծված է շրջանագիծ: Հաշվիր սեղանի մյուս անկյունները, եթե անկյուններից մեկը՝ F=10° է:

F= G = 10
E=H=170

6․ Գտնել B և D անկյունները։

B = 180-85 = 95
D = 180-117 = 63

7․ O կենտրոնով շրջանագծին ներգծված է ZXY եռանկյունն այնպես, որ ZX-ը  տրամագիծ է։ ZY աղեղի աստիճանային չափը հավասար է 104⁰ -ի։ Գտնել ZXY եռանկյան անկյունները։

X = 104 / 2 = 52
Y = 90
Z = 90 – 52 = 38

8․ Օգտվելով գծագրից, գտնել ∠ B-ը։

B = 90-46 = 44

9․ Գտնել ∠ R-ը և ∠B-ն։

B = 180-92=88
E = 180-74 = 106

10․ ABC եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ։ Գտնել այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AC=24 սմ, ∠A=60⁰, ∠B=30⁰:

սմ, ∠A=60⁰, ∠B=30⁰:
R = 48/2 = 24

11. Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե ա)∠A=64⁰, ∠ B=95⁰, ∠C=106⁰բ) ∠A=72⁰, ∠B=69⁰, ∠D=111⁰ գ) ∠A=90⁰, ∠C=90⁰, ∠D=80⁰:

A+C = 170 ոչ
D+B = 182 այո
A+C = 180 այո

1․ Գրել անկյան կիսորդի հատկությունը։

Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

2․ Թվարկել եռանկյան նշանավոր կետերը։

Կիսորդների հատման կետը

Միջնագծերի հատման կետ(ծանրության կենտրոն)

Բարձրությունների հատման կետը (օրթոկենտրոն)

Միջնուղղահայացների հատման կետը

3․ Եռանկյան մեջ տարված են միջնագծեր և բարձրություններ: Դրանց վերաբերյալ թվարկված պնդումներից որ՞ն է ճիշտ:

ա Եռանկյան բարձրությունները հատվելիս բաժանվում են 4:1 հարաբերությամբ հատվածների:

բ Եռանկյան միջնագծերը հատվելիս բաժանվում են 2:1 հարաբերությամբ հատվածների:

գ Եռանկյան միջնագծերը հատման կետով բաժանվում են 3:2 հարաբերությամբ հատվածների:

դ Բոլոր պնդումներն էլ սխալ են:

4․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  ներգծյալ։

Այն շրջանագիծը որը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը։

5․ Նշել եռանկյունները, որոնց արտագծված է շրջանագիծ:

ա) PRT

բ) EFG

գ) KLM

դ) MNL

ե) ABC

զ) DEF

6․ ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC կողմերին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը AC հիմքը հատում է N կետում: Որոշիր NC, եթե AC=36սմ

Քանի որ BN-ը անցնում է մյուս երկու բարձրությունների հատման կետով => ինքն էլ է բարձրություն։ Քանի որ հավասարասրուն եռանկյուն է => BN բարձրությունը նաև միջնագիծ է => NC=36:2=18

7․ Հաշվել քառանկյան անհայտ կողմը, եթե նրան ներգծված է շրջանագիծ: FG=10սմ, EH=15սմ, HG=12սմ

Ըստ քառանկյանը ներգծած շրջանագծի հատկության EF=10+15-12=13սմ

Թեմա՝ Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:

Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել: 

Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝  a+c=b+d:

Քառանկյան յուրաքանչյուր կողմ ներկայացնենք երկու հատվածների գումարի տեսքով՝ AB=AK+KB, BC=BL+LC, CD=CM+MD, և AD=DN+NA: Քանի որ, նույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են, ապա՝ AB+CD=BC+AD:

Այս հատկությունը կարելի է օգտագործել, որպես հայտանիշ, որի միջոցով կարելի է պարզել, թե ո՞ր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ:

Փորձենք ուղղանկյանը ներգծել շրջանագիծ։Քանի որ ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարը հավասար չէ,ապա չենք կարող ներգծել շրջանագիծ։

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  ներգծյալ։

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

 2․ Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  ներգծել  տրված  եռանկյանը:

1 շրջանագիծ

3․GEOGEBRA ծրագրով գծիր եռանկյուն, ներգծիր եռանկյանը շրջանագիծ, նկարը ցույց տուր։

4․Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 4 սմ և 9 սմ։ Գտնել սեղանի պարագիծը։

26սմ

5․Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3 սմ և 4 սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը:

34սմ

6․ Գտե՛ք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

2սմ

7․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13սմ է, իսկ էջերի գումարը՝ 17սմ: Գտե՛ք եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

2սմ

8․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15 սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

3սմ