187

ա)
(2sinα − cosα)/(sinα − 2cosα) = 3

2sinα − cosα = 3sinα − 6cosα

5cosα = sinα

tgα = 5

Պատասխան՝ tgα = 5

բ)
(5sinα − 2cos(π + α))/(sin(π − α) + 3cosα) = 3

cos(π + α) = −cosα, sin(π − α) = sinα

(5sinα + 2cosα)/(sinα + 3cosα) = 3

5sinα + 2cosα = 3sinα + 9cosα

2sinα = 7cosα

tgα = 7/2

Պատասխան՝ tgα = 7/2

188
ա)
(2sinα + cosα)/(sinα + 2cosα) = 4

2sinα + cosα = 4sinα + 8cosα

2sinα + 7cosα = 0

tgα = −7/2

ctgα = −2/7

Պատասխան՝ ctgα = −2/7

բ)
6cos(3π/2 + α) − cosα / (sinα − 3cos(π − α)) = 5

cos(3π/2 + α) = sinα, cos(π − α) = −cosα

(6sinα − cosα)/(sinα + 3cosα) = 5

6sinα − cosα = 5sinα + 15cosα

sinα = 16cosα

tgα = 16

ctgα = 1/16

Պատասխան՝ ctgα = 1/16

189

ա)
2sin²α + 5sinα + 2 = 0

(2sinα + 1)(sinα + 2) = 0

sinα = −1/2 կամ sinα = −2

sinα = −2 հնարավոր չէ։

Պատասխան՝ sinα = −1/2

բ)
2sin²α − 5sinα + 2 = 0

(2sinα − 1)(sinα − 2) = 0

sinα = 1/2 կամ sinα = 2

sinα = 2 հնարավոր չէ։

Պատասխան՝ sinα = 1/2

գ)
cos²α + 1 = 2cos(π/2 + α)

cos(π/2 + α) = −sinα

cos²α + 1 = −2sinα

1 − sin²α + 1 = −2sinα

sin²α − 2sinα − 2 = 0

sinα = 1 ± √3

Պատասխան՝ sinα = 1 − √3

դ)
sin²(5π/2 + α) − 2sinα + 1 = 0

sin(5π/2 + α) = cosα

cos²α − 2sinα + 1 = 0

1 − sin²α − 2sinα + 1 = 0

sin²α + 2sinα − 2 = 0

sinα = −1 ± √3

Հնարավոր է միայն՝

Պատասխան՝ sinα = √3 − 1

190

ա)
3cos²α − 10cosα + 3 = 0

(3cosα − 1)(cosα − 3) = 0

cosα = 1/3 կամ cosα = 3

cosα = 3 հնարավոր չէ։

Պատասխան՝ cosα = 1/3

բ)
3cos²α + 10cosα + 3 = 0

(3cosα + 1)(cosα + 3) = 0

cosα = −1/3 կամ cosα = −3

cosα = −3 հնարավոր չէ։

Պատասխան՝ cosα = −1/3

գ)
2cos(3π + α) + sin²α = 0

cos(3π + α) = −cosα

−2cosα + sin²α = 0

−2cosα + 1 − cos²α = 0

cos²α + 2cosα − 1 = 0

cosα = −1 ± √2

Պատասխան՝ cosα = √2 − 1

դ)
2cosα + sin²(5π + α) = 0

sin(5π + α) = −sinα

2cosα + sin²α = 0

2cosα + 1 − cos²α = 0

cos²α − 2cosα − 1 = 0

cosα = 1 ± √2

Պատասխան՝ cosα = 1 − √2

191

ա)
3tg²α − 11tgα − 4 = 0

(3tgα + 1)(tgα − 4) = 0

tgα = −1/3 կամ tgα = 4

Քանի որ √tgα-ն իրական թիվ է, tgα ≥ 0։

tgα = 4

√tgα = 2

Պատասխան՝ 2

բ)
3ctg²α − 2ctgα − 1 = 0

(3ctgα + 1)(ctgα − 1) = 0

ctgα = −1/3 կամ ctgα = 1

tgα = −3 կամ tgα = 1

Պետք է tgα ≥ 0, հետևաբար tgα = 1։

√tgα = 1

Պատասխան՝ 1

193

ա)
7tg²α + 6tgα − 1 = 0

(7tgα − 1)(tgα + 1) = 0

tgα = 1/7 tgα = −1

ctgα = 7 ctgα = −1

|ctgα + 1| < 2

ctgα = 7, 8 < 2՝ սխալ։

ctgα = −1, 0 < 2՝ ճիշտ

Պատասխան՝ ctgα = −1

բ)
10tgα + 3 = ctgα

ctgα = 1/tgα՝

10tgα + 3 = 1/tgα

10tg²α + 3tgα − 1 = 0

(5tgα − 1)(2tgα + 1) = 0

tgα = 1/5 կամ tgα = −1/2

ctgα = 5 կամ ctgα = −2

|ctgα − 3| < 3

ctgα = 5 → |5 − 3| = 2 < 3՝ ճիշտ։

ctgα = −2 → |−2 − 3| = 5 < 3՝ սխալ։

Պատասխան՝ ctgα = 5

455,456,457,458,459

455

Տրված է՝ զուգահեռագծի սուր անկյունը $60^\circ$, կողմերի տարբերությունը՝ $16$ սմ, փոքր անկյունագիծը՝ $19$ սմ։

Թող կողմերը լինեն $x$ և $x+16$։

Փոքր անկյունագծի համար՝$$19^2=x^2+(x+16)^2-x(x+16)$$$$361=x^2+16x+256$$$$x^2+16x-105=0$$$$x=5$$

Ուրեմն կողմերը $5$ սմ և $21$ սմ են։$$S=5\cdot21\cdot\sin60^\circ =\boxed{\frac{105\sqrt3}{2}\text{ սմ}^2}$$

456

Առաջին երկու կողմերն են $7$ և $15$ սմ, նրանց միջև անկյունը՝ $60^\circ$։

Նրանց ընդհանուր անկյունագիծը՝$$d^2=7^2+15^2-2\cdot7\cdot15\cos60^\circ$$$$d^2=49+225-105=169$$$$d=13$$

Մյուս երկու կողմերը թող լինեն $x$ և $x+1$։

Քանի որ քառանկյունը ներգծված է շրջանագծին, նրանց միջև անկյունը $120^\circ$ է։$$13^2=x^2+(x+1)^2+x(x+1)$$

Ստացվում է՝$$x=7$$

Ուրեմն մյուս կողմերն են՝ 7 սմ,8 սմ\boxed{7\text{ սմ},8\text{ սմ}}։

457

Անկյունագծերի հատման կետից կողմերին հեռավորությունները $3$ սմ և $4$ սմ են։

Հետևաբար համապատասխան բարձրությունները՝$$6\text{ սմ},\quad 8\text{ սմ}$$

Մակերեսը՝$$S=\frac{6\cdot8}{\sin60^\circ} =\frac{48}{\sqrt3/2} =\boxed{32\sqrt3\text{ սմ}^2}$$

458

Տրված է՝$$AB=10,\quad \angle A=26^\circ,\quad \angle B=74^\circ$$

Ուրեմն$$\angle C=180^\circ-26^\circ-74^\circ=80^\circ$$

Սինուսների թեորեմից՝$$\frac{AC}{\sin74^\circ}=\frac{10}{\sin80^\circ}$$

Քանի որ$$\sin74^\circ<\sin80^\circ,$$

ապա$$\boxed{AC<10\text{ սմ}}$$

459

Քառանկյունը ներգծված է շրջանագծին, ուստի $BC$ և $AD$ լարեր են։

Քանի որ$$\angle BAC=30^\circ,$$

ապա$$BC=2R\sin30^\circ=R$$

իսկ $BC=a$, հետևաբար$$R=a.$$

Նաև$$\angle ABD=45^\circ,$$

ուստի$$AD=2R\sin45^\circ =2a\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\boxed{a\sqrt2}.$$

Պատասխաններ՝

455. $\boxed{\frac{105\sqrt3}{2}\text{ սմ}^2}$
456. $\boxed{7\text{ սմ},8\text{ սմ}}$
457. $\boxed{32\sqrt3\text{ սմ}^2}$
458. $\boxed{AC<10\text{ սմ}}$
459. AD=a2​​

Իրավիճակ 1․ Դասարանում ուսուցիչը բոլոր սովորողներին տալիս է նույն առաջադրանքը, բայց մեկ սովորող ունի տեսողության խնդիր և չի կարողանում այն կատարել նույն պայմաններում։
Հավասա՞ր է, թե՞ արդար։

Հավասար է, բայց անարդար։

Փաստարկ Նույն պայմանները տեսողության խնդիր ունեցողին չեն տալիս կատարելու նույն հնարավորությունը։ Արդարությունը պահանջում է հարմարեցված պայմաններ օր՝ խոշորատառ կամ աուդիո։

Իրավիճակ 2․ Երկու սովորող նույն չափով են աշխատել, բայց մեկը ավելի բարձր գնահատական է ստացել։
Արդա՞ր է։ Ինչո՞ւ։

Արդար է, եթե գնահատվել է որակը, անարդար է, եթե գնահատվում էր միայն ջանքը։

Փաստարկ Նույն չափով աշխատելը չի երաշխավորում նույն որակի վերջնարդյունքը։ Բայց եթե տարբերությունը սուբյեկտիվ վերաբերմունքից է, ապա անարդար է։

Իրավիճակ 3․ Դպրոցում որոշվում է, որ բոլոր սովորողները պետք է ունենան նույն կանոնները՝ անկախ իրենց հնարավորություններից։
Սա արդարությո՞ւն է, թե՞ պարզապես հավասար վերաբերմունք։

Պարզապես հավասար վերաբերմունք է (ձևական հավասարություն)

Փաստարկ Առանց անհատական հնարավորությունները հաշվի առնելու՝ նույն կանոնները բոլորին դնում են անհավասար վիճակում օր՝ ֆիզիկական խնդիր ունեցողի համար

Իրավիճակ 4․ Երկու մարդ խախտել է նույն կանոնը, բայց նրանցից մեկը պատժվում է ավելի խիստ, քանի որ նախկինում ևս խախտումներ է ունեցել։
Արդա՞ր է, թե՞ ոչ։

Արդար է։

Փաստարկ Կրկնակի խախտում անողը ցույց է տալիս, որ դասեր չի քաղել նախորդ պատժից, ուստի ավելի խիստ պատիժը արդարացված է։

1. humid
2. vanish
3. dense
4. predict
5. villain
6. vapor
7. enormous
8. theory
9. utilize
10. descend
11. eliminate
12. circulate

1. b
2. b
3. d
4. b
5. c
6. a
7. b
8. c
9. c
10. c
11. c
12. b

is writing
aren’t watching
is having
is staying
am not lying
is always using
are having
are you playing

am working
don’t go
is getting
does Gary ever talk
is hitting
read
do you practise
are doing
knows
do you spell

Words

1. typical
2. minimum
3. scarce
4. annual
5. persuade
6. essential
7. blend
8. visible
9. expensive
10. talent
11. devise
12. wholesale

Explanations

A. necessary or extremely important
B. happening once every year
C. difficult to find or get because there is not enough of it
D. the smallest amount possible or allowed
E. costing a lot of money
F. to create or invent a plan, method, or solution
G. the ability to do something very well, especially naturally
H. usual or normal for a particular person, group, or situation
I. able to be seen
J. to convince someone to do or believe something
K. a mixture of different things, substances, or styles
L. selling goods in large quantities, usually to businesses at lower prices


typical — H
minimum — D
scarce — C
annual — B
persuade — J
essential — A
blend — K
visible — I
expensive — E
talent — G
devise — F
wholesale — L

1.I saw it last week.
2.I bought it yesterday.
3.I visited it two years ago.
4.I did it last night.
5.I sold it in June.
6.I broke a window a week ago.

1.went
2.decided
3.was having
4.was raining
5.were arguing
6.was calling
7.were eating
8.was making
9.was dreaming
10.was practising

1.sent
2.didn’t come
3.made
4.knew
5.took
6.gave
7.went
8.had

1.was playing
2.was sleeping
3.was standing
4.was working
5.Were you having
6.was running
7.was he going
8.were watching

1.woke
2.was shining
3.were singing
4.was
5.went
6.was having
7.said
8.was going to be
9.put
10.opened
11.was getting
12.rang
13.answered
14.was practising

1.used to
2.did, use to
3.didn’t to
4.didn’t to
5.did, use to
6.didn’t use to

1.
Positive aspects:

More respect and politeness from people in public places.

Priority and finding seats more easily on public transport.

Bus drivers and drivers are more patient and let you cross streets safely.

A positive mindset towards aging can add up to 7 years to life expectancy.

Having more free time and life wisdom.

Negative aspects:

Physical decline, joint pain, or reduced mobility.

Social invisibility or being ignored by younger people in crowded spaces.

Loss of independence and needing assistance with daily tasks.

Facing negative stereotypes or assumptions about abilities.

2.
Workplace Discrimination: Refusing to hire, promote, or train older workers due to assumptions about their age or technology skills.

Healthcare Bias: Doctors dismissing medical complaints of older people as just “getting old” instead of diagnosing the problem properly.

Street and Public Transport Behavior: Showing impatience or ignoring senior citizens when they walk slowly or need help.

Media Stereotyping: Representing older adults in movies or ads solely as helpless, forgetful, or out-of-touch.

Financial Restrictions: Difficulties getting loans, mortgages, or insurance policies because of age limits.

1.
Most people react positively and politely. Pedestrians make way on stairs, bus drivers let him cross the street without shouting, and he can easily find a seat on public transport. However, some people ignore him, and his own father didn’t recognize him at first.

2.
Chris feels generally happy and positive about getting old by the end of the day.

By profession, Chris is a doctor.

He is 36 years old but uses make-up to appear over 80.

Chris’s dad doesn’t recognise Chris because of the make-up.

Recent studies say that by being positive you can add up to 7 years to your life.

Bus drivers let Chris cross the street.

As a senior citizen Chris can sit down when using public transport.

What negative ideas do people have about becoming old? Almost a third of people think that being lonely is just something that happens when you get old, and a quarter of millennials believe it is normal for older people to be unhappy.

In what ways can negative attitudes be a problem for senior citizens? These negative ideas stop people from thinking of old age as an opportunity for new experiences. They can also lead to increased memory loss amongst senior citizens, a worse ability to recover from illness, and a negative body image.

What positive discovery did the research make? The study showed that 69% of people agreed that fundamentally, older people are no different from people of other ages.