1․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որն ունի հետևյալ նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) (- ∞, 1) -ում՝ դրական, (1, 2)-ում՝ բացասական, (2, ∞) -ում՝ դրական,
բ) (- ∞, — 2) -ում՝ դրական, (−2, 0)-ում՝ դրական, (0, 5)-ում՝ բացասական, (5, +∞) -ում՝ դրական,
գ) (- ∞, -8)-ում՝ բացասական, (- 8, 7) -ում՝ դրական, (7, +∞) -ում՝ բացասական:

2․ Ո՞ր գրաֆիկով ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերն են.
ա) (- ∞, — 3) (0, 4)-ում՝ դրական, (–3, 0), (4, +∞)-ում՝ բացասական,
բ) (- ∞, — 1) , (-1, 2)-ում՝ բացասական, (2, +∞)-ում՝ դրական,
գ) (- ∞, — 2) (-1, 1)-ում՝ բացասական, (−2, −1), (1, +∞)-ում՝ դրական:

3․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին․
1) անցնում է կոորդինատային հարթության (2, 3) կետով,
2) (–∞, 0)-ում դրական է, (0, 1)-ում՝ բացասական, (1, +∞)-ում՝ դրական:

4․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.
1) անցնում է կոորդինատային հարթության (−2, 1), (0, −1) և (3, −1) կետերով,
2) նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (-∞, -1), (-1, 1) և (1, +∞):

5․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին․
1) նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (-∞, — 2) ,(-2, 1) և (1, +∞) ,
2) անցնում է կոորդինատային հարթության (–5, 1), (-1, -2), (2, −2) կետերով։

Առաջադրանքներ․

1․ Գտնել պատկերված գրաֆիկով ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը․

ա)y<0, (1;3)

y>0, (−∞; 1), (3; +∞)

բ)y<0, (−∞; -1)

y>0, (−∞; 3), (3; +∞)

գ)y<0, (-2;3)

y>0, (−∞; -2), (3; +∞)

դ)y<0, (−∞; -2)

y>0, (-2;2), (2; +∞)

ե)y<0, (−∞; -3)

զ)y<0, (−∞; -2)

y>0, (-2;1), (1; +∞)

2․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որի նշանապահպանման միջակայքերը կլինեն․

ա) (−∞, −2), (−2, 1), (1, +∞),

բ) (−∞; −  4/5), (−  4/5; 0), (0; 3), (3; +∞),

գ) (−∞; 3), (3; +∞),

դ) (−∞, +∞):

3․ Գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ, որի նշանապահպանման միջակայքերի գծապատկերը կունենա հետևյալ տեսքը․

4․ Գտնել (-5; 36) միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35

5․ Գտնել (23; 57] միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57

1․ Պարզել արտահայտության նշանը.
ա) (−4)⁴ >0

բ) (−9999)¹ <0

գ) (−2026)²⁰²⁶ >0

դ) (−5)⁷ ⋅ 9² <0

ե) (−36)⁶ ⋅ (−55)³<0

զ) (−16)³ ⋅ (−11)⁷ >0

2․Պարզել արտահայտության նշանը տրված կետում․
ա) (x − 2)(x + 3)(x − 5), x = 3 <0

բ) (x + 2)(x + 8)(x − 1), x = −5 >0

3․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9)<0

(-2;3)

(x + 2)(3x − 9)>0

 (−∞, -2) ու (3, +∞)

բ) (4x − 20)(x +3/7 )<0

(-3/7;5)

(4x − 20)(x +3/7 )>0

 (−∞, -3/7) ու (5, +∞)

գ) (6x − 5)(x + 3)<0

(-3;5/6)

(6x − 5)(x + 3)>0

 (−∞, -3) ու (5/6, +∞)

4․ Պարզել արտահայտության նշանը տրված կետում․
ա) (x − 5)² /x³ , x = −1 <0

բ) (x − 2)³ (x + 1)⁵/  (x + 10)² , x = −7 >0

5․ Գտնել քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) 2x² − 6x + 4

(−∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞)

բ) 3x² + 2x + 1

(−∞,+∞)

գ) − x² + 3x − 2

(−∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞)

6․ Հայտնի է, որ x² + bx + c քառակուսի եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, 0), (0, 6) և (6, +∞): Գտնել b-ն և c-ն։

b=−6,c=0

1․ Հայտնի է, որ x² + 6x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը −28 է։
ա) Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք։-ոչ
բ) Գտնել c-ի արժեքը։ c=-16
գ) Գտնել x² + 6x − c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։

Եթե c=-9` (−∞,−3)∪(−3,+∞):

Եթե c < -9` (−∞;+∞):

Եթե c >-9, ապա երկու x-երը ունեն տարբեր արմատներ։

2․ Հայտնի է, որ 2x² + 9x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը −63 է։
ա) Կարո՞ղ է արդյոք նշված եռանդամն ընդունել բացասական արժեք։-ոչ
բ) Գտնել c-ի արժեքը։ c=18
գ) Գտնել 2 x² + 9x − c քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։

Եթե c=-81/8` (−∞,−2.25)∪(-2.25,+∞):

Եթե c < -81/8` (−∞;+∞):

Եթե c >-9, ապա երկու x-երը ունեն տարբեր արմատներ։

3․ Տրված ax² + 15x + c եռանդամի համար հայտնի է, որ a < 0 և D = −85:
ա) Ի՞նչ նշանի արժեքներ է ընդունում եռանդամը։-բացասական
բ) Գտնել ac-ն։

c=10, a=1
գ) Գտնել cx² + 15x + a եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։

4․ Հայտնի է, որ x² + bx + c քառակուսի եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, 0), (0, 6) և (6, +∞): Գտնել b-ն և c-ն։

b=-6, c=0

5․ Արտահայտության նշանը կախվա՞ծ է արդյոք փոփոխականի արժեքից.
ա) −2x²-ոչ

բ) x² − 6x-այո

գ) ( x² + x + 1)( x² + 1)-ոչ

դ) ( x² − x + 1)( x³ + 1)-այո

ե) (x − 1)( x³ − 1)-ոչ

6․ Քանի՞ երկնիշ թիվ կա, որոնց թվանշանների գումարը կենտ է։

45 երկնիշ թիվ։

7․ Գտնել բոլոր այն երկնիշ թվերի քանակը, որոնք հավասար են իրաից տարբեր 2 պարզ թվերի արտադրյալի, որոնցից մեկը 13-ն է։

Դրանք 4-ն են՝ 26,39,65,91։

Առաջադրանքներ։

1․ Որոշել քառակուսային եռանդամի նշանը տրված կետում․
ա) x² + 4x − 8, x = 2 >0

բ) 3 x² − 10x + 2, x = −1>0

գ) −2 x² + 7x + 11, x = 1.5 >0

դ) 2  x² + 5x − 20, x = 4 >0

2․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի դիսկրիմինանտը (տարբերիչ)։ Եռանդամի նշանը կախվա՞ծ է արդյոք x-ի արժեքից: Եթե կախված չէ, ապա նշել նշանը։
ա) 2x² + 7x − 1 >0

բ) −x² + 3x − 9 <0

գ) − x² − 6x − 9 <0

3․ Գտնել քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) 2x² − 6x + 4

(−∞,1)∪(2,+∞)

բ) 3x² + 2x + 1

(−∞,+∞)

գ) − x² + 3x − 2

 (−∞,1)∪(2,+∞)

4․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը և պարզե՛ք նշանը տրված կետում․

ա) − x² − 5x − 6, x = −1 <0

(−∞,−3)∪(−2,+∞)

բ) 3 x² − 7x + 4, x = 5 >0

 (−∞,1)∪(4/3,+∞)

գ) 2x² − 9x + 10, x = 3 >0

(−∞,2)∪(2.5,+∞)

5․ m-ի փոխարեն գրել թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք․
ա) x² + 5x + m, m=7

բ) −2 x² + 15x − m, m=29

գ) 3 x² − 7x + m, m=5
դ) mx² − 14x + 30, m=2

ե) mx² + 12x + 34, m=2

զ) mx² − 4x + 8, m=1

1․ Փոփոխականի ո՞ր արժեքի դեպքում արտահայտությունն իմաստ չունի․

1. x = 8
2. x = 3
3. x = 6
4. x = 3
5. x = 2, x = -1
6. x = -4, x = 5
7. x = 3
8. x = 4

2․ Գտնել արտահայտության թույլատրելի արժեքների բազմությունը․

1. {−2, −5}
2. {3}
3. {−1, 3}
4. {0,−3/5​}
5. {−1, −4}
6. {4/1​}
7. {1}
8. {5}

3. Լուծել քառակուսային հավասարումը.

1. x = -1, x = -5
2. y = -2, y = 6
3. x = 2, x = -9
4. x = -3, x = 11/4
5. z = -1, z = 3/4
6. լուծում չունի

4․ Խանութում կար 150 կգ միրգ։ Առաջին օրը խանութում վաճառվեց մրգի 20%-ը, երկրորդ օրը՝ մնացածի 25%-ը։ Քանի՞ կգ միրգ մնաց խանութում։
90 կգ

1․ Նշել x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը դրական է.

1. x = 3
2. x = 3
3. x = 4
4. x = 3

2․ Նշել x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը բացասական է.

1. x = 2
2. x = -1
3. x = -2
4. x = -1

3․ Պարզել արտահայտության նշանը տրված կետում․

1. +
2. —
3. —
4. —
5. —
6. —
7. —
8. —

4․ Գտնել արտահայտության նշանը․

1. +
2. —
3. —
4. +
5. —
6. +
7. +
8. —

5․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը.

1. (-∞ , -3) -, (-3 , 2) +, (2 , 9) -, (9 , ∞) +
2. (-∞ , -1) +, (-1 , 0) -, (0 , 3) -, (3 , ∞) +
3. (-∞ , -4) +, (-4 , -1) -, (-1 , 1) -, (1 , 1.5) +, (1.5 , ∞) +
4. (-∞ , 0) +, (0 , 1) -, (1 , 2) -, (2 , ∞) +
5. (-∞ , -3) +, (-3 , 1) +, (1 , 3) -, (3 , ∞) +
6. (-∞ , 5/4) +, (5/4 , 4/3) -, (4/3 , 3/2) +, (3/2 , ∞) +
7. (-∞ , 0) -, (0 , 2) +, (2 , 11) +, (11 , ∞) +
8. (-∞ , -2) +, (-2 , -√3) -, (-√3 , -√2) -, (-√2 , ∞) +

1․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը.

1. (−∞, −5);− (−5, 2);+ (2, +∞);+
2. (−∞, 1);− (1, 2.5);+ (2.5, +∞);+
3. +
4. (−∞, −2);+ (−2, 2​);− (2​, +∞);+
5. (−∞, −1);− (−1, 4);− (4, +∞);+
6. (−∞, −3);− (−3, −2);+ (−2, +∞);+

2․ Գնտել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը․

1. (−∞, 2);− (2, 5);+ (5, 12);− (12, +∞);+
2. (−∞, 5);− (5, +∞);+
3. (−∞, −10);+ (−10, 11);− (11, +∞);+
4. (−∞, −1);+ (−1, 3​);− (3​,4);− (4, +∞);+
5. (−∞, −5);+ (−5, −1);− (−1,3);+ (3, +∞);+
6. (−∞, −2);+ (−2, 1);− (1,4);− (4, +∞);+
7. (−∞, −5​);+ (−5​, 4);− (4,6);− (6, +∞);+
8. (−∞, −2);+ (−2, 3);− (3, +∞);+
9. (−∞, −2√2​);+ (−2√2​, 2√2​);− (2√2​, +∞);+

3․ Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերել x-ի հնարավոր արժեքները, որոնց դեպքում.

1. (−1, 2)
2. (−√2​, 4)
3. (√2​, √5​)

1․ Պարզել արտահայտության նշանը տրված պայմանի դեպքում․
ա) (x − a)(x − 5), a < x < 5
<0

բ) (x − a)(x − 4), x < a < 4
<0

գ) (x + 5)(x + 3), x > 0
>0

դ) (x + a)(x − 2), x < −a < 2
>0

ե) (x − 2)(x − a), x < a < 1
>0

զ) (x − 3)(x − a), 3  < a < x
>0

2․ Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերել x-ի այն արժեքները, որոնց դեպքում.
ա) (x − 1)(x − 7) արտահայտության արժեքը դրական է
x = 8

բ) (x − 5)(x + 4) արտահայտության արժեքը բացասական է
x = -3

գ) (x + √5 )(x − 7) արտահայտության արժեքը դրական է
x = -3

3․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզել արտահայտության արժեքի նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (4 − x)³(x − 4)²
(-∞; 4), {4}, (4; +∞)
Նշաններ՝ > 0, = 0, < 0

բ) − (x − 5)³
(-∞; 5), {5}, (5; +∞)
Նշաններ՝ > 0, = 0, < 0

գ) (6 − 2x)(x − 4)²
(-∞; 3) (3; 4) (4; +∞)
Նշաններ՝ > 0, < 0, < 0

դ) (10 − x)⁷(x − 10)
(-∞; 10), {10}, (10; +∞)
Նշաններ՝ < 0, = 0, < 0

ե) (8 − 2x)(x − 4)²
(-∞; 4), {4}, (4; +∞)
Նշաններ՝ > 0, = 0, < 0

զ) (9 − 3x)² (x − 3)³
(-∞; 3), {3}, (3; +∞)
Նշաններ՝ < 0, = 0, > 0

4․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզել արտահայտության
նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 3)(x² − 9)
(-∞; −3), {−3}, (−3; +∞)
Նշաններ՝ < 0, = 0, > 0

բ) (x − 1)(x² − 1)
(-∞; −1), {−1}, (−1; +∞)
Նշաններ՝ < 0, = 0, > 0

գ) (x + 2)(x² − 4)
(-∞; 2), {2}, (2; +∞)
Նշաններ՝ < 0, = 0, > 0

5․ a և b թվերն այնպիսին են, որ (a − 1)(a − 4) < 0 և (b − 4)(b − 10) < 0: Գտնել (a − 4)(b − 4) արտահայտության նշանը։
(a − 4)(b − 4) < 0

6․ Արտահայտության նշանը կախվա՞ծ է արդյոք փոփոխականի արժեքից.
ա) x² — ոչ
բ) x² − 5x — այո
գ) 3(x² + 1) — ոչ
դ) x³ + 1 — այո
ե) x² + 6x — այո
զ) (x − 1)² + 10 — ոչ

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․

ա) (x − 1)(x − 34), x = 11
—

բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2
—

գ) (x + 2)(x − 7), x = 9
+

դ) (x − 4)(x − 9), x = 13
+

ե) (x + 5)(x − 8), x = −10
+

զ) (x − 5)(x + 10), x = 6
+

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.

ա) (x − 2)(x − 8)
+ — +
(-∞ ; 2) ; (2 ; 8) ; (8 ; +∞)

բ) (x − √6)(x +√8)
— + —
(-∞ ; -√8) ; (-√8 ; √6) ; (√6 ; +∞)

գ) (x − 10)(x − 100)
+ — +
(-∞ ; 10) ; (10 ; 100) ; (100 ; +∞)

դ) (x + √15)(x − 5√2)
— + —
(-∞ ; -√15) ; (-√15 ; 5√2) ; (5√2 ; +∞)

ե) (x − 2√7)(x + 2)
— + —
(-∞ ; -2) ; (-2 ; 2√7) ; (2√7 ; +∞)

զ) (x − 3√6)(x + 4)
— + —
(-∞ ; -4) ; (-4 ; 3√6) ; (3√6 ; +∞)

3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6)
+ — + —
(-∞ ; 2) ; (2 ; 5) ; (5 ; 6) ; (6 ; +∞)

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3)
+ — + —
(-∞ ; -3) ; (-3 ; -2) ; (-2 ; 1) ; (1 ; +∞)

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3)
+ — + —
(-∞ ; -3) ; (-3 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; +∞)

դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3)
− + − +
(-∞ ; 2) ; (2 ; √5) ; (√5 ; 3) ; (3 ; +∞)

ե) x(x − 1)(x + √6 )
− + − +
(-∞ ; -√6) ; (-√6 ; 0) ; (0 ; 1) ; (1 ; +∞)

զ) x(x − 2.5)(x − √6 )
− + − +
(-∞ ; 0) ; (0 ; √6) ; (√6 ; 2.5) ; (2.5 ; +∞)

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9)
— + —
(-∞ ; -2) ; (-2 ; 3) ; (3 ; +∞)

բ) (4x − 20)(x +  3/7 )
— + —
(-∞ ; -3/7) ; (-3/7 ; 5) ; (5 ; +∞)

գ) (6x − 5)(x + 3)
— + —
(-∞ ; -3) ; (-3 ; 5/6) ; (5/6 ; +∞)

դ) (2x − 8)(3x + 21)
— + —
(-∞ ; -7) ; (-7 ; 4) ; (4 ; +∞)

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )
— + —
(-∞ ; -1/6) ; (-1/6 ; √11) ; (√11 ; +∞)

զ) (x + 4)(3x − 7)
— + —
(-∞ ; -4) ; (-4 ; 7/3) ; (7/3 ; +∞)