18.11.2024 — Մարկ Հարությունյանի բլոգ

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակներ եւ նրանց հատկությունները։

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Եթե արտահայտության մեջ պատահում է բաժանում զրոյի վրա, ապա այդ արտահայտությունն արժեք (իմաստ) չունի: Զրոյի վրա բաժանել չի կարելի:

(−3)²+5⋅0,2 թվային արտահայտության արժեքը հավասար է 10-ի:

(7−(−2)5+(6⋅4))/0 արտահայտությունն արժեք չունի:

Եթե թվային արտահայտությունը պարունակում է նաև տառեր (կամ միայն տառեր), ապա այն կոչվում է հանրահաշվական արտահայտություն:

(−3)²+5x; 3a+4b; (2x−6)/3 արտահայտությունները հանրահաշվական են:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Հանրահաշվական կոտորակը բազմանդամի և ոչ զրոյական բազմանդամի քանորդ է:

x/(x−3); (b−1)/(b+6); (1+x³)(x²+1); (y+2)/(y²−6y+6) արտահայտությունները հանրահաշվական կոտորակներ են:

Մեկ փոփոխականով արտահայտության որոշման տիրույթ կոչվում է փոփոխականի բոլոր այն արժեքների բազմությունը, որոնց համար արտահայտությունն իմաստ (արժեք) ունի:

Որոշման տիրույթի ցանկացած կետում արտահայտությունն ունի արժեք:

Օրինակ` Գտնենք (x−3)/x(x+8) հանրահաշվական կոտորակի որոշման տիրույթը:

Լուծում. (x−3)/x(x+8) հանրահաշվական կոտորակը որոշված է x փոփոխականի բոլոր այն արժեքների համար, որոնց դեպքում կոտորակի x(x+8) հայտարարը հավասար չէ 0-ի: Հետևաբար որոշման տիրույթին չպատկանող x -ի արժեքները գտնելու համար պետք է լուծել հետևյալ հավասարումը՝

x(x+8)=0

Յուրաքանչյուր արտադրիչ հավասարեցնում ենք զրոյի՝

x=0 և x+8=0

x=−8

Պատասխան՝ տրված հանրահաշվական կոտորակի որոշման տիրույթը բաղկացած է բոլոր իրական թվերից, բացի 0 և −8 թվերից:

Հանրահաշվական կոտորակի որոշման տիրույթը բաղկացած է բոլոր այն իրական թվերից, որոնց դեպքում կոտորակի հայտարարը հավասար չէ 0-ի:

Հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը

Հանրահաշվական կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն արտահայտությամբ, որի արժեքը զրոյից տարբեր է:

Հանրահաշվական կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս միշտ ենթադրվում է, որ գործողությունները կատարվում են որոշման տիրույթում (թույլատրելի արժեքների հետ):

Եթե տրված է A հանրահաշվական կոտորակը, ապա այն −1-ով բազմապատկելով, ստանում ենք՝ (−1)⋅A=−A

A և −A կոտորակները կոչվում են փոխադարձ հակադիր, եթե դրանց գումարը հավասար է 0-ի, այսինքն՝

Ինչպես և հակադիր թվերը, հակադիր հանրահաշվական կոտորակները ևս տարբերվում են միայն նշաններով:

Հաճախ հանրահաշվական կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս, պետք է լինում փոխարինել կոտորակի համարիչը կամ հայտարարը հակադիրով: Սակայն, որպեսզի կոտորակի արժեքը չփոխվի, պետք է հետևել նշանի փոփոխության կանոններին՝

կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե

— փոխենք համարիչի և հայտարարի նշանները,

— փոխենք համարիչի և ամբողջ կոտորակի նշանները,

— փոխենք հայտարարի և ամբողջ կոտորակի նշանները:

Եթե A-ով և B-ով նշանակենք հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը, ապա նշանի փոփոխման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

Կանոնը ուժի մեջ է միայն այն դեպքում, երբ

Այս հավասարությունները կարելի է ստուգել ցանկացած արժեքի համար հանրահաշվական կոտորակների որոշման տիրույթից:

Հանրահաշվական կոտորակը կրճատելու համար պետք է կոտորակի համարիչը և հայտարարը վերլուծել արտադրիչների: Եթե պարզվի, որ համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր արտադրիչներ, ապա դրանք կարելի է կրճատել:

Արտադրիչների վերլուծման օրինակներ՝

— ընդհանուր արտադրիչի դուրս բերումը փակագծերից,

— կրճատ բազմապատկման բանաձևերի օգտագործումը,

— խմբավորման եղանակ: