Հարցեր և առաջադրանքներ
1.Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 10 անդամների գումարը, եթե
a1=3, d=2։
Տրված է՝
a₁ = 3, d = 2, n = 10
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₁₀ = 10/2 · (2·3 + 9·2)
= 5 · (6 + 18)
= 5 · 24
= 120
Պատ՝ 120
2.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 5 է, տարբերությունը՝ 5։ Գտնել առաջին 12 անդամների գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 5, d = 5, n = 12
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₁₂ = 12/2 · (2·5 + 11·5)
= 6 · (10 + 55)
= 6 · 65
= 390
Պատ՝ 390
3.Գտնել 1, 4, 7, 10, … թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 15 անդամների գումարը։
a₁ = 1, d = 3, n = 15
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₁₅ = 15/2 · (2·1 + 14·3)
= 15/2 · (2 + 42)
= 15/2 · 44
= 15 · 22
= 330
Պատ՝ 330
4.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 20 է, տարբերությունը՝ −2։ Գտնել առաջին 8 անդամների գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 20, d = −2, n = 8
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₈ = 8/2 · (2·20 + 7·(−2))
= 4 · (40 − 14)
= 4 · 26
= 104
Պատ՝ 104
5.Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 25 անդամների գումարը, եթե
a1=1, d=1։
Տրված է՝
a₁ = 1, d = 1, n = 25
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₂₅ = 25/2 · (2·1 + 24·1)
= 25/2 · (2 + 24)
= 25/2 · 26
= 25 · 13
= 325
Պատ՝ 325
6.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 7 է, վերջինը՝ 97, իսկ անդամների քանակը՝ 16։ Գտնել պրոգրեսիայի գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 7, a₁₆ = 97, n = 16
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
Հաշվում ենք․
S₁₆ = 16/2 · (7 + 97)
= 8 · 104
= 832
Պատ՝ 832
7.Գտնել բոլոր երկնիշ թվերի գումարը, որոնք կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա՝ 10, 12, 14, …, 98։
a₁ = 10, aₙ = 98, d = 2
Գտնենք անդամների քանակը․
n = (aₙ − a₁)/d + 1
n = (98 − 10)/2 + 1
= 88/2 + 1
= 44 + 1
= 45
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
Հաշվում ենք․
S₄₅ = 45/2 · (10 + 98)
= 45/2 · 108
= 45 · 54
= 2430
Պատ՝ 2430
8.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 50 է, տարբերությունը՝ −5։ Ինչքան է առաջին 6 անդամների գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 50, d = −5, n = 6
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₆ = 6/2 · (2·50 + 5·(−5))
= 3 · (100 − 25)
= 3 · 75
= 225
Պատ՝ 225
9.Գտնել 2-ից սկսվող և 2-ով աճող թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 30 անդամների գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 2, d = 2, n = 30
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
Հաշվում ենք․
S₃₀ = 30/2 · (2·2 + 29·2)
= 15 · (4 + 58)
= 15 · 62
= 930
Պատ՝ 930
10.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 4 է, տարբերությունը՝ 3։ Գտնել այն n-ը, որի դեպքում առաջին n անդամների գումարը հավասար է 286։
Sₙ = n/2 × (2×a₁ + (n−1)×d)
286 = n/2 × (2×4 + (n−1)×3)
286 = n/2 × (8 + 3n − 3)
286 = n/2 × (3n + 5)
572 = n × (3n + 5)
3n² + 5n − 572 = 0
Δ = 5² − 4×3×(−572) = 6889, √Δ = 83
n = (−5 + 83)/6 = 78/6 = 13
Պատ՝ 13
11.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 6 է, տարբերությունը՝ 4։ Եթե առաջին n անդամների գումարը 240 է, գտնել n-ը։
Տրված է՝
a₁ = 6, d = 4, Sₙ = 240
Բանաձևը՝ Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d)
240 = n/2·(12 + 4(n−1))
240 = n/2·(4n + 8)
240 = n·(2n + 4)
2n² + 4n − 240 = 0
n² + 2n − 120 = 0
Δ = 2² − 4·1·(−120) = 484
√Δ = 22
n = (−2 + 22)/2 = 10
Պատասխան՝ 10
12.Գտնել այն թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը, եթե d=3, n=20, իսկ գումարը՝ 650։
Sₙ = n/2 × (2×a₁ + (n−1)×d)
650 = 20/2 × (2a₁ + 19×3)
650 = 10 × (2a₁ + 57)
650 = 20a₁ + 570
20a₁ = 80
a₁ = 4
Պատ՝ 4
13.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 1 է։ Գտնել տարբերությունը, եթե առաջին 15 անդամների գումարը 435 է։1. Բանաձևը՝ Sₙ = n/2 × (2 × a₁ + (n−1) × d)
2. Փոխադրում թվերով՝
435 = 15/2 × (2 × 1 + 14 × d)
3. 15/2 = 7.5, ուստի
435 = 7.5 × (2 + 14 × d)
4. Բաժանում 7.5–ով՝
2 + 14 × d = 58
5. Հանում 2–ը՝
14 × d = 56
6. Բաժանում 14–ով՝
d = 4
Պատ՝ 4
14.Գտնել առաջին 50 բնական թվերի գումարը՝ օգտագործելով թվաբանական պրոգրեսիայի բանաձևը։
Տրված է՝
a₁ = 1, d = 1, n = 50
Թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը՝
Sₙ = n/2 × (2 × a₁ + (n−1) × d)
Փոխադրենք թվերով․
S₅₀ = 50/2 × (2 × 1 + 49 × 1)
= 25 × (2 + 49)
= 25 × 51
= 1275
Պատ՝ 1275
15.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 100 է, տարբերությունը՝ −1։ Գտնել առաջին 100 անդամների գումարը։
Տրված է՝
a₁ = 100, d = −1, n = 100
Բանաձևը՝
Sₙ = n/2 × (2 × a₁ + (n−1) × d)
Փոխադրենք թվերով․
S₁₀₀ = 100/2 × (2 × 100 + 99 × (−1))
= 50 × (200 − 99)
= 50 × 101
= 5050
Պատ՝ 5050
16.Դասարանում առաջին շարքում նստած է 10 աշակերտ, յուրաքանչյուր հաջորդ շարքում՝ 2-ով ավելի։ Քանի՞ աշակերտ կա ընդհանուր, եթե դասարանում կա 8 շարք։
a₁ = 10, d = 2, n = 8
S₈ = 8/2 × (2×10 + 7×2)
S₈ = 4 × (20 + 14)
S₈ = 4 × 34 = 136
Պատասխան՝ 136 աշակերտ
17.Մարզիկը առաջին օրը վազեց 2 կմ, իսկ ամեն հաջորդ օրը՝ 0.5 կմ-ով ավելի։ Քանի՞ կմ է նա վազել առաջին 10 օրում։
a₁ = 2, d = 0.5, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2×2 + 9×0.5)
S₁₀ = 5 × (4 + 4.5)
S₁₀ = 5 × 8.5 = 42.5 կմ
Պատասխան՝ 42.5 կմ
18.Գրադարանում առաջին դարակում կա 15 գիրք, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ դարակում՝ 5-ով ավելի։ Քանի՞ գիրք կա ընդհանուր 6 դարակում։
a₁ = 15, d = 5, n = 6
S₆ = 6/2 × (2×15 + 5×5)
S₆ = 3 × (30 + 25)
S₆ = 3 × 55 = 165 գիրք
Պատ՝ 165 գիրք
19.Տնտեսությունում առաջին շաբաթում արտադրվել է 100 միավոր, իսկ ամեն շաբաթ արտադրանքը աճել է 20-ով։ Գտնել 12 շաբաթվա ընդհանուր արտադրանքը։
Տրված է՝ a₁ = 100, d = 20, n = 12
S₁₂ = 12 ÷ 2 × (2×100 + 11×20)
S₁₂ = 6 × (200 + 220)
S₁₂ = 6 × 420 = 2520
Պատ՝ 2520
20.Խնայողը առաջին ամսում խնայել է 5000 դրամ, իսկ ամեն հաջորդ ամսում՝ 1000 դրամ-ով ավելի։ Քանի՞ դրամ է նա խնայել 1 տարում։
a₁ = 5000, d = 1000, n = 12
S₁₂ = 12 ÷ 2 × (2×5000 + 11×1000)
S₁₂ = 6 × (10000 + 11000)
S₁₂ = 6 × 21000 = 126000
Պատ՝ 126000 դրամ
Մարկ Հարությունյանի բլոգ 