Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ո՞ր հաջորդականությունն է կոչվում երկրաչափական պրոգրեսիա։

Երկրաչափական պրոգրեսիա է կոչվում այն հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամը նույն հաստատուն թվով բազմապատկելով։

2.Ի՞նչ է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը (q) և ինչպե՞ս է այն հաշվվում  երկու հաջորդական անդամների միջոցով։

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը (q) այն հաստատուն թիվն է, որով բազմապատկելով նախորդ անդամը՝ ստացվում է հաջորդ անդամը։

Այն հաշվվում է երկու հաջորդական անդամների բաժանմամբ․
q = a₂ / a₁ (կամ հաջորդ անդամը բաժանած նախորդին)։

Օրինակ՝ 2, 6, 18, …
q = 6 / 2 = 3։

3.Տրված է 2, 6, 18, 54, …հաջորդականությունը։ Արդյո՞ք այն երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Եթե այո, որքա՞ն է հայտարարը։

6 / 2 = 3
18 / 6 = 3
54 / 18 = 3

Քանի որ բոլոր դեպքերում ստացվում է նույն թիվը, ապա հայտարարը q = 3

4.Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 5 է, իսկ հայտարարը՝ 2։ Գտեք երկրորդ և երրորդ անդամները։

Երկրորդ անդամը՝
a₂ = a₁ · q = 5 · 2 = 10

Երրորդ անդամը՝
a₃ = a₂ · q = 10 · 2 = 20

6.Կարո՞ղ է արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը լինել բացասական թիվ։ Ի՞նչ տեսք կունենա այդպիսի պրոգրեսիան։

Այո, երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը կարող է լինել բացասական թիվ։ Այդ դեպքում հաջորդականության անդամների նշանները հերթով փոխվում են՝ դրական, բացասական, դրական և այլն։

Օրինակ՝ 2, −4, 8, −16, … այստեղ հայտարարը q = −2։

7.Գրեք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի հաշվման բանաձևը (bn)։

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

որտեղ
b₁ — առաջին անդամն է,
q — հայտարարը,
n — անդամի համարը։

8.Տրված է b1 = 3 և q = 2։ Գտեք պրոգրեսիայի 5-րդ անդամը։

Բանաձևը՝
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

5-րդ անդամը՝
b₅ = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48

Պատ` b₅ = 48։

9. Հայտնի է, որ b1 = 1 և bn = 27։ Գտեք պրոգրեսիայի հայտարարը։

Երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևը՝
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Քանի որ 1 · q³ = 27, ստացվում է՝
q³ = 27

q = 3

Պատ`․ q = 3։

10.Ինչպե՞ս է պրոգրեսիայի կամայական անդամը (սկսած երկրորդից) կապված իր հարևան անդամների հետ (բնութագրիչ հատկություն)։

Թվաբանական պրոգրեսիա – կամայական անդամը հավասար է իր հարևան անդամների գումարի կեսին։
Օր․ 5 = (2 + 8) / 2

Երկրաչափական պրոգրեսիա – կամայական անդամի քառակուսին հավասար է հարևան անդամների արտադրյալին։
Օր․ 4² = 2 × 8։

11.Կարո՞ղ է արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիայի որևէ անդամ կամ հայտարարը լինել 0։ Հիմնավորեք պատասխանը։

Ոչ, երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը (q) չի կարող լինել 0, որովհետև այդ դեպքում բոլոր հաջորդ անդամները կլինեն 0 և պրոգրեսիան չի պահպանվի։

Սակայն պրոգրեսիայի որևէ անդամ կարող է լինել 0, եթե դրանից սկսած բոլոր հաջորդ անդամներն էլ լինեն 0։

12.Ի՞նչ պայմանի դեպքում b1 > 0 ունեցող երկրաչափական պրոգրեսիան կլինի նվազող։

Եթե b₁ > 0, ապա երկրաչափական պրոգրեսիան կլինի նվազող, երբ հայտարարը բավարարում է պայմանը՝

0 < q < 1։

13. x, 10, 20, y թվերը կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա։ Գտեք x-ը և y-ը։

Այժմ գտնենք $x$x և $y$y․

10/x=2__x=5
y/20=2__y=40

Պատ` x = 5, y = 40։

14.Որքա՞ն պետք է լինի q-ն, որպեսզի պրոգրեսիայի բոլոր անդամները լինեն միմյանց հավասար։

q = 1

15.Ինչի՞ է հավասար b2 .b4 արտադրյալը, եթե հայտնի է b3-ի արժեքը։

Երկրաչափական պրոգրեսիայում

b₂ · b₄ = b₃²

Այսինքն՝ b₂ և b₄ անդամների արտադրյալը հավասար է b₃-ի քառակուսուն։

16.Գտեք 1/2, 1/4, 1/8, … պրոգրեսիայի հայտարարը և 6-րդ անդամը։

Հայտարարը՝
q=1/4:1/2​=1/2​

6-րդ անդամը՝
a₆​=1/2​:1⁵/2=1/64

17.Լաբորատորիայում բակտերիաների քանակը յուրաքանչյուր ժամում կրկնապատկվում է։ Եթե սկզբում կար 100 բակտերիա, որքա՞ն կլինի դրանց քանակը 5 ժամ հետո։

5 ժամ հետո՝
100 × 2⁵ = 100 × 32 = 3200

Պատ՝ 3200 բակտերիա։

18.Դուք բանկում  ներդրել եք 100,000 դրամ, և բանկը խոստանում է ամեն տարի ավելացնել ձեր գումարը 10%-ով։ Ինչի՞ հավասար կլինի ձեր գումարը 3 տարի հետո։

3 տարի հետո՝
100000 × 1.1³ = 100000 × 1.331 = 133100

Պատ՝ 133,100 դրամ

19.Թենիսի գնդակը հատակին հարվածելիս ամեն անգամ հետ է թռչում իր նախորդ բարձրության ուղիղ կեսի չափով 1/2: Եթե գնդակը բաց թողնենք 16 մետր բարձրությունից, ի՞նչ բարձրության կհասնի այն 4-րդ հարվածից հետո։

4-րդ հարվածից հետո՝
16:.(1/2)⁴=16:1/16=1

Պատ՝ 1 մետր

20.Աշակերտը սոցիալական ցանցում տեսնում է մի նորություն և այն ուղարկում իր 3 ընկերներին։ Հաջորդ փուլում այդ 3 ընկերներից յուրաքանչյուրն ուղարկում է ևս 3 հոգու և այդպես շարունակ։ Քանի՞ մարդ կստանա այդ լուրը 4-րդ փուլում։

4-րդ փուլում՝
3⁴=81

Պատ՝ 81 մարդ

21.Մեքենայի գինը յուրաքանչյուր տարի նվազում է իր նախորդ տարվա գնի 20%-ի չափով։ Եթե նոր մեքենան արժե 10,000,000 դրամ, որքա՞ն կլինի դրա արժեքը 2 տարի հետո։

10,000,000 x 0.8² = 10,000,000 x 0.64 = 6,400,000

Պատ՝ 6,400,000 դրամ