Թեմա՝՝ Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները:

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

Քանի վոր ապդ և ցբկ ուղանկյուն երանկըուներ հավասար էն։ Ըստ չորորդ հայտանի

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: Ապացուցել, որ AD=CB:

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:

Թեմա՝ Հակադարձ համեմատականություն:

Խնդիր: Երկու գյուղերի միջև հեռավորությունը 240 կմ է: Որոշիր, թե քանի՞ ժամում կարելի է մի գյուղից հասնել մյուս գյուղը, եթե 20 կմ/ժ արագությունը ավելացնել 2 անգամ, 3 անգամ, 4 անգամ:

Լրացրու աղյուսակը:

Արագությունը, կմ/ժ	20	40	60	80
Ժամանակը, ժ	12	6	4	3

Նկատենք, որ արագությունը 2 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 40 կմ/ժ), ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 2 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 6 ժ):

Նույն ձևով, արագությունը 3 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 60 կմ/ժ),  ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 3 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 4 ժ): 

Ուշադրություն

Արագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:

Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:

Երկու մեծություններ կոչվում են հակադարձ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը փոքրանում է (մեծանում է) նույնքան անգամ:

Ուշադրություն

Եթե երկու մեծությունները հակադարձ համեմատական են, ապա նրանց համապատասխան արժեքների արտադրյալները հավասար են:

Ստուգենք այս պնդումը վերևի խնդրի օրինակի վրա:

20⋅12=40⋅6=60⋅4=80⋅3=240

Ուղիղ համեմատականությունը տրվում է բանաձևի միջոցով:

y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:

Առաջադրանքներ:

1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում հակադարձ համեմատական։

Արագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:

Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:

2․ Գրել հակադարձ համեմատականության տրման բանաձևը։

y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

3․ Ինչպե՞ս է կոչվում հաստատունը։

k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:

4․ Լրացրու աղյուսակը:

z	2	4	20	20
y	50	25	5	5

5․ Ուշադիր նայիր այս աղյուսակին:

s	5	3	8	2
v	48	80	30	50

ա) Աղյուսակի կախումը  ….. համեմատական է:

բ) Ընտրել բանաձևը, որով տրվում է այս կախումը.  (s-ը և v-ն փոփոխականներ են, k-ն` թիվ է)

v=k⋅s k=v⋅s

գ) Գտիր k գործակիցը՝ k=

դ) Լրացնել աղյուսակի երկու պատուհանները:

6․ Բեռնատար մեքենան որոշ հեռավորություն 60 կմ/ժ արագությամբ անցավ 8 ժամում: Քանի՞ ժամում նույն հեռավորությունը կանցնի մարդատար ավտոմեքենան 80 կմ/ժ արագությամբ։

7․ Միրնույն ժամանակում հետիոտն անցավ 6 կմ, իսկ հեծանվորդը՝ 18 կմ։ Որքա՞ն ժամանակ կծախսի հետիոտն այն ճանապարհն անցնելու համար, որը հեծանվորդն անցնում է 2 ժամում։

8․ 6 մարդ մի աշխատանք կատարում են 18 օրում։ Քանի՞ օրում կկատարեն այդ աշխատանքը 9 մարդ, եթե բոլոր 15-ը հավասարազոր աշխատողներ են։

9․ 6 ներկարար աշխատանքը կկատարեն 5 օրում։ Նույն արտադրողականությունն ունեցող քանի՞ ներկարար ևս պետք է հրավիրել, որպեսզի բոլորով միասին այդ նույն աշխատանքը կատարեն 3 օրում։

Թեմա` Ուղիղ համեմատականություն:

Խնդիր: Քառակուսու կողմը 2 դմ է: Որոշիր, թե ինչպե՞ս կփոխվի քառակուսու պարագիծը, եթե նրա կողմը մեծանա 3 անգամ, 4 անգամ, 5 անգամ:

Քառակուսու կողմը, դմ	2	6	8	10
Քառակուսու պարագիծը, դմ	8	24	32	40

Նկատում ենք, որ քառակուսու կողմը 3 անգամ մեծացնելիս (2 դմ էր, դարձավ 6 դմ), նրա պարագիծը ևս մեծացավ 3 անգամ (8 դմ էր, դարձավ 24 դմ):

Նույն ձևով, եթե քառակուսու կողմը մեծանում է 4 անգամ (2 դմ էր, դարձավ 8 դմ), ապա նրա պարագիծը ևս մեծանում է 4 անգամ (8 դմ էր, դարձավ 32 դմ): 

Գալիս ենք եզրակացության, որ եթե քառակուսու կողմը մի քանի անգամ մեծանում է, ապա նույնքան անգամ մեծանում է նրա պարագիծը:

Ասում են, որ քառակուսու պարագիծը ուղիղ համեմատական է քառակուսու կողմին: 

Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:

Ուշադրություն

Եթե երկու մեծություններն ուղիղ համեմատական են, ապա նրանց համապատասխան արժեքների հարաբերությունները հավասար են:

Ստուգենք այս պնդումը վերևի խնդրի օրինակի վրա:

Յուրաքանչյուր դեպքում հաշվենք քառակուսու կողմի և պարագծի հարաբերությունները:

2/8=6/24=8/32=10/40=1/4

Ուղիղ համեմատականությունը տրվում է բանաձևի միջոցով:

y=kx բանաձևը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախման բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

k հաստատունը կոչվում է համեմատականության գործակից:

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում ուղիղ համեմատական:

Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:

2․ Գրել ուղիղ համեմատականության տրման բանաձևը:

Ուղիղ համեմատականության գրաֆիկը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով;

3․ Ինչպե՞ս է կոչվում k հաստատունը:
k հաստատունը կոչվում է համեմատականության գործակից:

4․ Պարզել, թե արդյո՞ք մեծությունների բերվող կախվածությունը ուղիղ համեմատականություն է:  

ա) Կախվածությունը հաստատուն արագությամբ շարժվող մեքենայի անցած ճանապարհի և ծախսած ժամանակի միջև:
Ճիշտ է։

բ) Կախվածությունը կնոջ տարիքի և նրա գլխարկի չափի միջև:
Ճիշտ չե։

5․ Աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել դատարկ վանդակները:

Զանգված կգ	1	2	3	4	5
Գին (դրամ)	200	400	600	800	1000

6․ Լրացնել  հետևյալ աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրվածի եռապատիկ թվին:

տրված թիվը	2	3	4	5
եռապատիկ  թիվը	6	9	12	15

7․ Լրացնել աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրված թվի հինգերորդ մասին:

տրված թիվը	−40	−35	−30	−15
թվի հինգերորդ մասը	-8	-7	-6	-3

8․ Հայտնի է, որ աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել աղյուսակը:

Զանգված (կգ)	1	2	3	4	5
Գին (դրամ)	150	300	450	600	750

9․ Աղյուսակում բերված են երկու ուղիղ համեմատական մեծությունների արժեքներ: Լրացնել աղյուսակի դատարկ պատուհանները:

Երկարություն (դմ)	1	2	3	4	5
Զանգված կգ	10	20	30	40	50

10․ Ո՞ր դեպքում են մեծություններն ուղիղ համեմատական:

• Շեղանկյան անկյունը և շեղանկյան մակերեսը:
• Հրավիրված հյուրերի թիվը և պատվիրված խմորեղենի քանակը:
• Արշավախմբի անդամների թիվը և մեկ օրվա սննդամթերքի քանակը (սննդամթերքի ընդհանուր քանակը չի փոխվում):

1.Եռանկյունն ունի 23^o աստիճանի երկու անկյուն: Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

2.Տրված է AKM եռանկյունը: ∠A=36°, ∠M=98°: Որոշել ∠K անկյան մեծությունը:
98 + 36 = 134
180 – 134 = 46

3.Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 56° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:
90 + 56 = 146
180 – 146 = 34

4. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտնել ∠ADC-ն, եթե ∠C=48⁰։
DAC = 48 / 2 = 24
ADC = 24 + 48 = 72
180 – 72 = 108

5. Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠N:∠L:∠M=4:3:5
12x = 180
x = 15
N = 15 * 4 = 60
L = 15 * 3 = 45
M = 15 * 5 = 75

6. Տրված է CAB եռանկյունը: Նշել  A անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) AB բ) CA գ) CB

7. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 74 մ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է  22 մ-ի: Հաշվել եռանկյան հիմքը:
74 – 22 * 2 = 30

8. Տրված է ΔBCA, AC=BC: Եռանկյան հիմքը 11դմ-ով փոքր է սրունքից: BCA եռանկյան պարագիծը հավասար է 121դմ-ի: Հաշվել եռանկյան կողմերը:
X+X+X-11=121
3X=121+11
3X=132
X=44
44-11=33

9. Տրված են երեք հատվածների երկարությունները: Որոշել, թե արդյո՞ք դրանք կարող են լինել որևէ եռանկյան կողմեր:

ա)  11; 14; 20 ոչ այո

բ)  15; 16; 37 ոչ այո

գ) 18; 18; 18 ոչ այո

 10․ A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=3,5 սմ, BC=7 սմ: Գտնել ABC եռանկյան անկյունները:
7 / 3.5 = 2
<C = 30
<B = 60
<A = 90

Ամփոփիչ դաս

1․ Ընտրել առաջին աստիճանի −x−6=8−7x հավասարման անհայտի գործակիցը:

-x+7x=8+6

6x=14

ա) 1 բ) 5 գ) 6 դ) 7

2․ Նշել x+6=−2x+2 հավասարման ազատ անդամը:

6-2=-2x-x

4=-3x

ա) −2 բ) 4 գ) 3 դ) 1

3․Արդյո՞ք  −4-ը հանդիսանում է  x−4=0 հավասարման արմատ:

ա) այո բ) ոչ

4․ Արդյո՞ք  −2-ը հանդիսանում է  7x+14=0 հավասարման արմատ:

ա) այո բ) ոչ

5․ Լուծել հավասարումները։

ա) 1/3x=−10

x=-10/1/3

x=-30

բ) 2x−12=0

x=-6

գ) 4x+4=0

x=-1

դ) x+9=23

x=14
ե) 2(x+13)=0

x=-13

զ) −x−3=2(x+4)

է) −x+2x=−1 

ը) −2x+1=-9

6․Տրված են A={1,2,3,4,5} և B={2,4,6} բազմությունները: Կազմել բերված բազմությունների հատումը և միավորումը։

A∪B={1,2,3,4,5,6}

A∩B={2,4}

7․ Տրված են երկու բազմություններ՝ A={a, b, c},B={b, c, d}: Գտնել դրանց միավորումն ու հատումը:

A∪B={a,b,c,d}

A∩B={b,c}

8․ Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 12 տարր, իսկ B-ն՝ 16: Պարզել A և B բազմությունների հատման տարրերի թիվը, եթե դրանց միավորումն ունի 20 տարր:

12+16=28

28-20=8(հատման տարրերի թիվը)

9․ Երեք իրար հաջորդող զույգ թվերի գումարը հավասար է 36:

x+x+2+x+4=36

3x=36-6

x=10

10+2=12

10+4=14

10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտնել մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում:  

6(x+1)=8(x-1)

6x+6=8x-8

6x-8x=-8-6

-2x=-14

x=7կմ/ժ

11․ Երկու նավահանգիստների միջև հեռավորությունը 176 կմ է: Նավահանգիստներից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեցին երկու նավակ, որոնց արագությունները կանգնած ջրում հավասար են: 4 ժամ անց նավակները հանդիպեցին: Հոսանքի արագությունը 2 կմ/ժ է: Գտնել նավակների արագությունները կանգնած ջրում։

12․ Աշակերտը 1200 դրամով գնեց տետրեր և գրիչներ: Գրիչների վրա նա ծախսեց 3 անգամ ավելի շատ գումար, քան տետրերի: Որքա՞ն գումար ծախսեց աշակերտը տետրերի և գրիչների վրա:

1200:4=300(տետրերի վրա)

300×3=900(գրիչների վրա)

13․ 1 կիլոգրամ խնձորի և 2 կիլոգրամ տանձի համար վճարեցին 1900 դրամ: Մեկ կիլոգրամ տանձը 200 դրամով թանկ է մեկ կիլոգրամ խնձորից: Որքա՞ն արժեն խնձորի և տանձի մեկ կիլոգրամները:

1900-400=1500

1500:3=500(խնձորի արժեք)

500+200=700(տանձի արժեքը)

1․ Ինչպե՞ս են նշանակում.

ա) բնական թվերի բազմությունը
1-ից մինջև ամբողջ տվերը ։
բ) ամբողջ թվերի բազմությունը
-1-ից մինջև ամբողջ թվերը։

գ) ռացիոնալ թվերի բազմությունը
Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ
դ) իռացիոնալ թվերի բազմությունը
Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ:
ե) իրական թվերի բազմությունը:
Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր:

2․ Գրառել

ա) 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը:
11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

բ) 42-ից փոքր և 6-ի հետ փոխադարձ պարզ թվերի բազմությունը:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41:

գ) այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 12-ի բաժանելիս տալիս են 5 մնացորդ:
17, 29, 41, 53, 65, 77, 89,

3․ Օգտագործելով N, Z, Q նշանակումները և ∈, ∉ նշանները՝ ներկայացրու հետևյալ պնդումը՝ 

−3-ը ռացիոնալ թիվ է:
-3∈Q

4․ Պարզիր, թե արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ 2.6∉Q։ Ընտրել ճիշտ պնդումները:
2.6∈Q

ա) 21∈N բ) 0,3∈Z գ) 16∈N դ) −16∈Z ե) 6∈Z զ) −6∈N է) 0∈N ը) 0∈Z թ)−21∈Z

5. Տրված է A={2.5;−4;0;25;6} բազմությունը: Որոշել դրա այն ենթաբազմությունները, որոնք բաղկացած են միայն բնական թվերից: Ընտրել ճիշտ պատասխանի տարբերակները:
{25;6}
ա) {0,6} բ) {0,25,6} գ) {6} դ) {−4,0,6}

6. Տրված են պնդումներ և առնչություններ բազմությունների և նրանց տարրերի վերաբերյալ: Ընտրել ճիշտ պնդումները:

ա) {1}∩{2}=∅ բ) {1}⊂{2} գ) 0,25∉Z դ) 4.25∈Q ե) Z∩Q=Z զ) 13∉Q է) 0.7∈N թ) Z∪{0}=Q

7. Ընտրել ճիշտ պնդումները.

ա) 7.5∉Q բ) Z∪Q=R գ) 1,7∈Q դ) {1}∪{2}={1,2} ե) R∩Q=Q զ) Q⊄R է) 35∉R ը) Z⊂R թ){11}∉N

8. Տրված են հետևյալ վեց թվերը՝ −16;6.77;−0.1277;6.(5);−9.073992…;113: Նշել այն թվերը, որոնք՝

ա) x∈ Q և x ∉Z 

6.77, 0.1277, 6.(5),

բ) x∈ Q և x ∉N
−16;6.77, −0.1277, 6.(5),

9. Տրված է {−5;0;2;16} բազմությունը: Ընտրել՝

ա) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունն է՝

ա) {0;1;16} բ) {−5;16} գ) {−1;16} դ){−5;10}

բ) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունը չէ՝

ա) {0;2} բ){−5;0;16} գ) {−5;16} դ) {−1;16}

10. A բազմությունն ունի 5 տարր, AUB բազմությունը՝ 12 տարր, իսկ AՈB բազմությունը՝ 2 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:
12 – 5 + 2 = 9

11. Դասարանի 31 աշակերտից 21-ը ցանկություն է հայտնել սովորել անգլերեն, 18-ը՝ գերմաներեն:

ա) Քանի՞ աշակերտ է ցանկություն հայտնել սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն:
21 + 18 – 31 = 8

բ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն գերմաներեն:

31 – 21 = 10

գ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն անգլերեն:

31 – 18 = 13

Թեմա՝ Հիմնական հասկացություններ բազմությունների մասին։

Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:

Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,…,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,…:

Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝ A={a1;a2;…;an}

Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում ∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:

Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:

Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:

Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:

Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:

Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:

Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:

Օրինակ՝ մեկ a տարրից բաղկացած A={a} բազմությունը վերջավոր է:

Բնական թվերի N={1,2,3,4,5…} բազմությունը վերջավոր չէ կամ անվերջ է: 

Բազմության տարրերից, տարբեր խմբավորումներով, կարելի է կազմել նոր բազմություններ:   

Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B

Մասնավորապես՝ բազմությունը իր ենթաբազմությունն է՝ A⊂A

Ուշադրություն՝ Չխառնես ∈ և ⊂ նշանները:

Օրինակ՝ այս 3∈{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ է, քանի որ 3 թիվը հանդիսանում է {0,1,2,3,4,5} բազմության տարր: Իսկ 3⊂{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ չէ՝ ձախ մասում թիվ է, իսկ պետք է բազմություն լինի:

A և  B բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են A և B բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝  A∪B

Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ:

 A և B բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ A, և՛ B բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ A∩B:

Օրինակ` Գտնենք A և B բազմությունների հատումը , եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}

Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝ A∩B={2,4,6,8}

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է բազմությունը։
Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:

2․ Ո՞ր բազմություններն են հավասար։
որենք ունես նույն տարրերը

3․ Բերել վերջավոր և անվերջ բազմությունների օրինակներ։

Օրինակ կենդանիների բազմության վերջավոր։

4․ Ընտրել բազմությունը՝ բառերով տրված նկարագրի հիման վրա: −6-ից մեծ ամբողջ բացասական թվեր: Ընտրել պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

ա) {−5,−4,−3,−2,−1} բ) {1,2,3} գ) {−1,−2,−3,−4,−5,−6} դ) {1,2,3,4}

5․ Ընտրել ճիշտ պնդումները.

ա) 0.5∈N բ) 13∈N գ) 12∈N դ) 20∈N ե) 2∈{−3,3} զ) x∉{x+1} է) −3∈N ը) a∈{a} թ) z∈{x,y,z}

6․Այս բազմություններից ո՞րն է վերջավոր: Ընտրել պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

• զրոյից փոքր ամբողջ թվեր
• երկուսից փոքր բնական թվեր
• զրոյից մեծ բնական թվեր
• մինուս չորսից մեծ ամբողջ թվեր

7․Տրված են {1,2,3,4,5} և {2,4,6} բազմությունները:  Կազմել բերված բազմությունների միավորումն ու հատումը։
A∩B = {2, 4}
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

8․ Տրված են երկու բազմություններ՝ A={x,2y,z},B={x, y}: Գտնել նրանց միավորումն ու հատումը: ա) A∪B բ) A∩B 
A∩B = {x}
A∪B = {x, 2y, z, y}

9․ Տեղի ունի բազմությունների միավորման այս հավասարությունը՝ {x, y}∪{0,4}={x, y}

ա) որոշել x-ը, եթե y-ը բնական թիվ չէ:
x = 4 y = 0

բ) որոշել  x-ը, եթե y-ը բնական թիվ է:
x = 0 y = 4

10․Տրված են երկու բազմություններ՝  A={3,5,7}, B={2,4}: Կազմել տրված բազմությունների միավորումն ու հատումը:
A∪B = 2, 3, 4, 5, 7
A∩B = ∅

11․Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 15 տարր, իսկ B-ն՝ 4:  Որոշել A և B բազմությունների միավորման տարրերի թիվը, եթե դրանց հատումն ունի 1 տարր:
A∪B = 15 + 4 – 1 = 18

12․Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 12 տարր, իսկ B-ն՝ 16: Պարզել A և B բազմությունների հատման տարրերի թիվը, եթե դրանց միավորումն ունի 20 տարր:
A = 12
B = 16
A∪B = 20
20 = 12 + 16 – A∩B
20 – 28 – A∩B
A∩B = 20

13․Տրված է երկու բազմություն՝ A={2,4,6,8,…,20} և B={1,2,3,…,133}: Գտնել դրանց հատումը:
A∩B = A
A∪B = B

Թեմա՝ Խնդիրների լուծում գծային հավասարումների օգնությամբ։

Առաջադրանքներ։

1․Գործարանի երեք արտադրամասում աշխատում է 1130 մարդ: Երկրորդ արտադրամասում 70 մարդ ավելի է աշխատում, քան առաջինում, իսկ երրորդում՝ 84 մարդ ավելի, քան երկրորդում: Քանի՞ մարդ է աշխատում յուրաքանչյուր արտադրամասում:

1 արտադրամաս – x
2 արտադրամաս – x + 70
3 արտադրամաս – x + 70 + 84

x + x + 70 + x + 70 + 84 = 1130
3x + 224 = 1130
3x = 1130 – 224 = 906
x = 906 / 3 = 302
Պատ․՝
1 արտադրամաս – 302
2 արտադրամաս – 302 + 70 = 372
3 արտադրամաս – 372 + 84 = 456

2․ Մի թիվը 13-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը 8-ով,ապա նրանց գումարը կլինի 129։ Գտնել այդ թվերը։
1. x
2. x + 13
2x + x + 13 + 8 = 129
3x + 21 = 129
3x = 129 – 21 = 108
x = 108 / 3 = 36
Պատ․՝
1. 36
2. 36 + 13 = 49

3․ Հայրը որդուց մեծ է 7 անգամ: 5 տարի հետո նա որդուց մեծ կլինի 4 անգամ: Քանի՞ տարեկան է հայրը:
Որդի – x
Հայր – 7x
7x + 5 = 4(x + 5)
7x + 5 = 4x + 20
7x – 4x = 20 – 5
3x = 15
x = 15 / 3 = 5
Պատ․՝ 35 տարեկան

4․ Երեք արկողում միասին կա 84 գնդակ: Եթե առաջին արկղից հանենք 5 գնդակ, երկրորդից՝ 9 գնդակ, իսկ երրորդից՝ 4 գնդակ, ապա բոլոր արկղերում կմնան հավասար քանակությամբ գնդակներ: Սկզբում քանի՞ գնդակ կար յուրաքանչյուր արկղում:
1. x + 5
2. x + 9
3. x + 4
3x + 18 = 84
3x = 84 – 18 = 66
x = 66 / 3 = 22
Պատ․՝
1. 22 + 5 = 27
2 . 22 + 9 = 31
3. 22 + 4 = 26

5․10000 դրամը պետք է մանրել 200 դրամ և 500 դրամ մետաղադրամներով այնպես, որ նրանց քանակը լինի 26։ Դրանցից քանի՞սը կլինի 200 դրամանոց։
200. x
500. 26 – x
200x + 500(26-x) = 10000
200x + 13000 – 500x = 10000
-300x = 10000 – 13000 = -3000
x = -3000 / -300 = 10
Պատ․՝ 10 հատ

6․ Մի քաղաքից մյուսը հեծանվորդը գնում է 5 ժամում, իսկ մեքենան 2 ժամում։ Որքա՞ն է հեծանվորդի արագությունը, եթե մեքենայի արագությունը 42 կմ/ժ-ով մեծ է հեծանվորդի արագությունից։
Հեծանվորդ․ x
Մեքենա. x + 42
5x = 2(x + 42)
5x = 2x + 84
3x = 84
x = 84 / 3 = 28
Պատ․՝ 28 կմ/ժ

7․ Եռանկյան պարագիծը 77 սմ է։ Որոշել եռանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա առաջին կողմը 2 անգամ փոքր է երկրորդից, իսկ երրորդը ՝ 5 սմ-ով մեծ է առաջինից։
1. x
2. 2x
3. x + 5
x + 2x + x + 5 = 77
4x = 72
x = 72 / 4 = 18
Պատ․՝
1. 18
2. 18 * 2 = 36
3. 18 + 5 = 23

8․ Մի ավազանում կա 480 լ ջուր, իսկ մյուսում՝ 1460 լ: Յուրաքանչյուր ժամում առաջին ավազան է լցվում 80 լ ջուր, իսկ երկրորդից յուրաքանչյուր ժամում դատարկվում է 60լ ջուր: Որքա՞ն ժամանակ հետո ավազանների ջուրը կհավասարվի:
ժամանակ – x
480 + 80x = 1460 – 60x
140x = 980
x = 980 / 140 = 7
Պատ․՝ 7 ժամ

9․ Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի՞ աշակերտ կա երրորդ դասարանում:
1. x
2. x – 4
3. x + 3
x + x – 4 + x + 3 = 116
3x – 1 = 116
3x = 117
x = 117 / 3 = 39
Պատ․՝ 39 + 3 = 42

10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտի՛ր մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում:
մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում – x
6(x + 1) = 8(x – 1)
6x + 6 = 8x – 8
14 = 2x
x = 14/2 = 7
Պատ․՝ 7 կմ/ժ

1․Լուծել հավասարումները․

1) x-6=8
x = 8 + 6 = 14
2) x+46=4
x = -46 + 4 = -42
3) x-96=5
x = 5 + 96 = 101
4) 2x-10=4
2x = 4 + 10 = 14
x = 14/2 = 7
5) 3x+36=6
3x = 6 – 36 = -30
x = -30/3 = -10
6) x+14=-9
x = -14 – 9 = -23
7) 3x+83=-4
3x = -4 – 83 = -87
x = -87/3 = -29

8) 2x-6=8
2x = 8 + 6 = 14
x = 14/2 = 7
9) 2x-8=2
2x = 2 + 8 = 10
x = 10/2 = 5
10) 4x-16=32
4x = 32 + 16 = 48
x = 48/4 = 12
11) 7x+49=-21
7x = -21 – 49 = -70
x = -70/7 = -10
12) 9x-81=18
9x = 18 + 81 = 99
x = 99/9 = 11
13) 18x+36=36
18x = 36 – 36 = 0
x = 0
14) 29x-158=16
29x = 16 + 158 = 174
x = 174/29 = 6
15) 3x+9=-3
3x = -3 – 9 = -12
x = 12/3 = 4
16) 5x+15=25
5x = 25 – 15 = 10
x = 10/5 = 2
17) 2x+96=0
2x = -96
x = -96
18) 6x+126=0
6x = -126
x = -126/6 = -21
19) 7x+56=0
7x = -56
x = -56/7 = -8
20) 8x+96=16
8x = 16 – 96 = -80
8x = -80 + 96 = 16
x = 16/8 = 2
21) 32x+288=32
32x = 32 – 288 = -256
x = 256/32 = 8
22) -x-6=0
-x = 6
x = -6
23) -x+56=0
-x = -56
x = 56
24) -21x-42=0
-21x = 42
x = 42/-21 = -2
25) -11x+11=0
-11x = -11
x = -11/-11 = 1

2․Լուծել հավասարումները։

1. x = 17 + 11 = 28
2. x = 2 – 6 = -4
3. x = -6 – 12 = -18
4. x = 5 – 13 = -8
5. x = -14/7 = -2
6. x = 51/-17 = -3
7. x = 7/6
8. x = -13/2 = -6.5
9. x = -2

3․Գտնել հավասարման արմատը․

1. 5x = 4 – 1: x = 3/5
2. 5x = 7 – 5 + 8 = 10: x = 10/5 = 2
3. x + 1 = 3: x = 3 – 1 = 2
4. 2x – 3 – x – 1 = 1: x – 4 = 1: x = 1 + 4 = 5

4․Գտնել անհայտը․

1. 4x + 12 = 0: 4x = -12: x = -12/4 = -3
2. 2x – 16 = 0: 2x = 16: x = 16/2 = 8
3. 3x – 1 – 2x – 5 + x = 0
   2x – 6 = 0: 2x = 6: x = 6/2 = 3
4. 1,52 – 2,8x – 1,72 + 5,2x = 0
   8x – 0,2 = 0: 8x = 0,2: x = 0,2/8 = 0.025
5. 5x + 7 – 2x – 3 + 2x – x = 0
   4x + 4 = 0: 4x = -4: x = -4/4 = -1
6. 7 – 0.2x – 21,28 + 1,6 = 0
7. -0,2x – 12,68 = 0: 0.2x = 12,68: x = 12,68/0.2 = 63,4

5․Լուծել հավասարումները․

1. x = 3/0 (լուծում չունի)
2. x = -2/0 (լուծում չունի)
3. x = 0/0 (սահմանված չէ)
4. 0x = 0 (սահմանված չէ)
5. 3x + 2x – 1 = 10
   5x = 10 + 1 = 11
   x = 11/5 = 2.2
6. 5x – 3x + 1 = 3
   2x = 3 – 1 = 2
   x = 2/2 = 1
7. 3x – 2 – x + 1 = 10
   2x = 10 + 1 = 11
   x = 11/2 = 5.5
8. 7 – 2x + 3 = x – 2 + 4x
   -2x -x – 4x = -2 – 7 – 3
   -7x = -12
   x = -12/-7
9. 12x + 4 = 12x – 6
   12x – 12x = -6 – 4 = -10
   0x = -10
   x = -10/0 (լուծում չունի)
10. 5 – 3x – 15 = 7 – 2 – 3x
    -3x + 3x = 7 – 2 – 5 + 15
    0x = 15
    x = 15/0 (լուծում չունի)

6․Լուծել հավասարումները․

ա) 3x – 7 = x
3x – x = 7
2x = 7
x = 7/2 = 3.5

բ) 2x + 3 = 5x – 9
2x -5x = -9 – 3
-3x = -12
x = -12/-3 = 4

գ) x + 8 – 7x = 4 + 3x – 14
x – 7x – 3x = 4 – 14 – 8
-9x = -18
x = -18/-9 = 2

դ) 3x+125=7x+9   
3x – 7x = 9 – 125
-4x = -116
x = -116/-4 = 29

 ե)-x+26+4x=6+5x-37
-x + 4x – 5x = 6 – 37 – 26
-2x = -57
x = -57/-2 = 28.5

զ) -56x+268+2x=68+2x
-56x + 2x – 2x = 68 – 268
-56x = -200
x = -200/-56

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

Օրինակ՝ 4x+6=2, 6x-5=4x+7, 2x-7+3x=6

Գծային հավասարման լուծումը կախված է գործակցից և ազատ անդամից։ 

1. Եթե k-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ՝ եթե 2x−4=0, ապա x=2

2. Եթե k=0, իսկ b-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումը արմատ չունի:

Օրինակ՝ 0x=3: Չկա x-ի այնպիսի արժեք, որը 0-ով բազմապատկելիս ստացվի 3

3. Եթե k=0 և b=0, ապա ցանկացած թիվ հանդիսանում է հավասարման արմատ:

Օրինակ՝ 0x=0: Զրոն ցանկացած թվով բազմապատկելիս ստացվում է 0։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

1. Եթե հավասարման ձախ և աջ մասերը բազմապատկենք (կամ բաժանենք) զրոյից տարբեր միևնույն թվով, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

2. Եթե հավասարման որևէ անդամ հավասարման մի մասից տեղափոխենք մյուս մաս, փոխելով նրա նշանը, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

3. Եթե հավասարման ձախ կամ աջ մասում կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

2․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում համարժեք։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

3․ k-ի և b-ի դեպքում kx+b=0 հավասարումը` ա) ունի մեկ լուծում բ) լուծում չունի, գ) անթիվ բազմությամբ լուծումներ ունի:

kx+b=0

kx=-b

x=-b/k

4.Ընտրել առաջին աստիճանի −x−4=3−6x հավասարման անհայտի գործակիցը:

Ընտրել ճիշտ պատասխանը

ա) 1

բ) 5

գ) 6

դ) 7

5.Նշել x+4=−2x հավասարման ազատ անդամը:

ա) −2

բ) 4

գ) 3

դ) 1

6․ Հետևյալ 1/3x = -2 հավասարման արմատը հավասար է.

7․ Գտնել 3 − 2x = 3 (x − 1) հավասարման ազատ անդամը:

ա) 6

բ) 3

գ) 6/5 

դ) 1

ե) −5

8․ Լուծել տրված հավասարումը՝ 2 (x + 11) = 0

9․ Գտնել հետևյալ 3x = x հավասարման ազատ անդամը:

10․ x փոփոխականի ո՞ր արժեքի դեպքում է 6x − 18 տարբերության արժեքը հավասար 0-ի:

11.Քանի՞ արմատ ունի 3(x−1)+3x−1=4(2x+3) հավասարումը:

12.Արդյո՞ք 7-ը հանդիսանում է 9x+4=2x հավասարման անհայտի գործակից:

ա) այո բ) ոչ

13.Լուծել հավասարումը՝ −8−0.5x=8

14.Գտնել 4(2−3x)+2=8x−4 հավասարման արմատը:

15.Գտնել 2x+6+3(4x+2)=8(x+3) հավասարման արմատը:

16.Արդյո՞ք x²+3x−1=0 հավասարումը մեկ անհայտով գծային հավասարում է:

17.Թվարկվածներից ընտրիր այն հավասարումները, որոնք մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ են:

• x=6(x−2)+4
• 5x+72x−8=2
• 9x²=1
• x+3y=0
• 3x=0
• 5x−14+2x=x³

18. Համարժեք են արդյոք հավասարումները․

ա) 5x+15=0  և  9x+27=0         բ) 15x-60=0 և x-4=0         գ) 12x-144=0 և 9x+121=0

դ) 62x+124=0 և  -7x=0         ե) 25x-200=0  և  -x+8=0         զ) x-1=0  և 5x+5=0

19.Կազմել հավասարում և լուծելայն․

ա) x թվին գումարել են 6 և ստացել են 15։

բ) x թվից հանել են 13 և ստացել են 9։

գ) 37-ից հանել են x թիվը և ստացել են 15։

դ) 14-ին գումարել են x թիվը և ստացել են 28։