Թեմա՝ Սյունակային դիագրամներ և գրաֆիկներ։

Երբ Մարիամը մեկ տարեկան էր, նրա հասակը 70սմ էր, երբ նա դարձավ երեք տարեկան՝ 100սմ, 5 տարեկան՝ 120սմ և 7 տարեկան՝ 135սմ:

Այդ տվյալներով կարելի է կառուցել դիագրամ: Բայց այս դիագրամի վրա լրիվ չի երևում, թե ինչպես է փոխվել Մարիամի հասակը: Նա անընդհատ աճել է, իսկ դիագրամի վրա երևում է նրա հասակը միայն 1, 3, 5 և 7 տարեկանում: Սյունակների վերին ծայրերը միացնենք հատվածով: Կստացվի բեկյալ գիծ, որն ավելի լավ է ցույց տալիս, թե ինչպես է փոխվել Մարիամի հասակը:

Մենք տեսնում ենք,որ 4 տարեկանում նրա հասակը մոտավորապես եղել է 110սմ,իսկ 6,5 տարեկանում՝ 132 սմ։Եթե Մարիամի հասակն անընդհատ չափեին,ապա կստացվեր ոչ թե բեկյալ,այլ եղերկ գիծ։

Այդ գծի միջոցով կարելի է իմանալ Մարիամի հասակը ժամանակի ցանկացած պահին՝ 1 տարեկանից մինչև 7 տարեկանը: Այսպես, օրինակ, 2 տարեկանում նրա հասակը եղել է 87սմ: Այդպիսի գիծն անվանում են Մարիամի հասակի գրաֆիկ:

Դիագրամ ( հուն․՝ Διάγραμμα (diagramma) — պատկեր, գծանկար) — գծային հատվածների կամ երկրաչափական պատկերների միջոցով տվյալների արտահայտում, որը թույլ է տալիս արագ գնահատելու մի քանի մեծությունների հարաբերությունը։

Դիագրամները հիմնականում կազմված են տարբեր  երկրաչափական օբյեկտներից ( կետեր, գծեր, տարբեր գույների ու ձևերի պատկերներ) և օժանդակ տարրերից (կոորդիանատային առանցքներ, պայմանական նշաններ, վերնագրեր)։ Բացի այդ, դիագրամները լինում են երկչափ և եռաչափ: Դիագրամների մեջ երկրաչափական առարկաների համեմատությունը կարող է կատարվել տարբեր չափումների միջոցով, օրինակ՝ պատկերի մակերես, բարձրություն, կետերի խտություն և այլն։

Գծային դիագրամներ, գրաֆիկներ

Գծային դիագրամները կամ գրաֆիկները տվյալները ներկայացնում են գծերով իրար միացված կետերի միջոցով։ Կետերը կարող են լինել ինչպես տեսանելի, այնպես էլ անտեսանելի (միայն բեկյալ գծեր): Նաև կարող են հանդիպել միայն կետեր պարունակող դիագրամներ (կետային դիագրամներ)։ Գծային դիագրամներ կառուցելու համար օգտագործվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ: Սովորաբար, աբսցիսսների առանցքը ներկայացնում է ժամանակը ( տարիներ, ամիսներ և այլն), իսկ օրդինատների առանցքը՝երևույթների, պրոցեսների չափը։ Առանցքների վրա նշվում են մասշտաբները։

Սյունակաձև դիագրամները (սյունապատկերները) կազմված են նույն լայնությամբ զուգահեռ ուղղանկյուններից (սյունակներից): Յուրաքանչյուր սյունակ ցույց է տալիս տվյալների որոշակի տեսակ (օրինակ՝ ամպամածության տեսակը): Տվյալների տեսակները դասակարգված են հորիզոնական առանցքի վրա:  Սյունակի բարձրությունը ցույց է տալիս տվյալների որոշակի տեսակի արժեքը (օրինակ՝ որոշակի ամպամածությամբ օրերի քանակը):Արժեքները տեղադրվում են ուղղահայաց առանցքի վրա:

Առաջադրանքներ։

1․ Աշակերտներին հարցրին, թե ո՞րն է նրանց սիրած միրգը և արդյունքները ներկայացրին այս աղյուսակի տեսքով: Կազմել աղյուսակին համապատասխան սյունակային դիագրամ։

Սիրած միրգը	Աշակերտների թիվը
խնձոր	6
տանձ	4
խաղող	8
ծիրան	10
դեղձ	6
սալոր	8
բալ	9
թուզ	2
անանաս	5
բանան	3

2․ Նայիր դիագրամին և ընտրիր ճիշտ պատասխանները։

ա)Քանի՞ աշակերտ է համարում Սպորտը իր ամենասիրած առարկան:

112 աշակերտ

բ) Քանի՞ աշակերտ է համարում Հայոց լեզու իր ամենասիրած առարկան։

47 աշակերտ

գ) Քանի՞ աշակերտ է համարում Երկրաչափությունը իր ամենասիրած առարկան։

39 աշակերտ

3․ Աղյուսակում բերված են մաթեմատիկայից թեմատիկ գրավոր սշխատանքի կատարման արդյունքները։ Կատարել այդ արդյունքներին համապատասխան սյունակային դիագրամ։

4․ Առավոտյան ժամը 6-ին ավանից ոտքով գնաքցին 5 կմ հեռավորության վրա գտնվող լիճը՝ ձկնորսության։ Որսից հետո նրանք ավան վերադարձան մեքենայով։ Նկարում պատկերված է նրանց շարժման գրաֆիկը։ Գրաֆիկի օգնությամբ որոշել․

ա) Ժամը քանիսի՞ն ձկնորսները հասան լիճ։

7:00

բ) Ի՞նչ էին անում նրանք ժամը 7-ից մինչև 8 անց 45 րոպեն։

Ձուկ են որսում

գ) Որքա՞ն ժամանակ տևեց վերադառնալը։

15 րոպե

դ) Ի՞նչ արագությամբ էին նրանք քայլում ոտքով։

5կմ/ժ

5. Նկարում պատկերված է թեյամանում ջրի T ջերմաստիճանի (ըստ Ցելսիուսի սանդղակի) փոփոխության գրաֆիկը՝ կախված հոսանքի միացման պահից անցած t ժամանակից: Ինչքա՞ն է եղել ջրի ջերմաստիճանը հոսանքի աղբյուրին միացնելուց 3 րոպե, 5 րոպե, 7 րոպե հետո: Ո՞ր պահին են թեյնիկն անջատել: Քանի՞ րոպե է այն եռացել:

3 րոպե հետո-40 աստիճան

5 րոպե հետո-75 աստիճան

7 րոպե հետո-100 աստիճան

Թեյնիկն անջատել են երբ ջերմաստիճանը 90 էր, և այն եռացել է 9 րոպե։

6․ Նկարում բերված է օդի ջերմաստիճանի փոփոխության գրաֆիկն օրվա ընթացքում: Չափումները կատարվել են 2 ժամը մեկ:

ա) Ի՞նչ ջերմաստիճան է եղել ժամը 4-ին/-2/, 8-ին/0/, 12-ին/3/, 21-ին/0,5/, 23-ին/-3/:

բ) Ո՞ր ժամերին է ջերմաստիճանը 0՛-ից բարձր եղել:

Ժամը 8:00-ից 22:00-ն ընկած ժամանակահատվածում։
գ) Ո՞ր ժամերին է ջերմաստիճանը 0՛-ից ցածր եղել:

Ժամը 2:00-ից մինչև 8։-ը, և ժամը 22:00-ից հետո։

7․ Գծել մարտ ամսվա ձեր գնահատականների գրաֆիկը։

Թեմա՝ Կոորդինատային հարթություն։

Նկարիր պատկերները կոորդինատների օգնությամբ.

Ուղտ՝

1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4), (9; 3), (9; 1), (8; — 1), (8; 1), (7; 1), (7; — 7), (6; — 7), (6; — 2), (4; — 1), (- 5; — 1), (- 5; — 7), (- 6; — 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).

2) Աչք (- 6; 7).

Ջայլամ

1) (0; 0), (- 1; 1), (- 3; 1), (- 2; 3), (- 3; 3), (- 4; 6), (0; 8), (2; 5), (2; 11), (6; 10), (3; 9), (4; 5), (3; 0), (2; 0), (1; — 7), (3; — 8), (0; — 8), (0; 0).

2) Աչք (3; 10).

Աղվես՝

1) (- 3; 0), (- 2; 1), (3; 1), (3; 2), (5; 5), (5; 3), (6; 2), (7; 2), (7; 1,5), (5; 0), (4; 0), (4; — 1,5), (3; — 1), (3; — 1,5), (4; — 2,5), (4,5; — 2,5), (- 4,5; — 3), (3,5; — 3), (2; — 1,5), (2; — 1), (- 2; — 2), (- 2; — 2,5), (- 1; — 2,5), (- 1; — 3), (- 3; — 3), (- 3; 2), (- 2; — 1), (- 3; — 1), (- 4; — 2), (- 7; — 2), (- 8; — 1), (- 7; 0), (- 3; 0).

2)Աչք (5; 2).

Մուկ՝

1) (3; — 4), (3; — 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; — 1), (- 1; 0), (- 1; — 4), (- 2; — 4),(- 2; — 6), (- 3; — 6), (- 3; — 7), (- 1; — 7), (- 1; — 5), (1; — 5), (1; — 6), (3; — 6), (3; — 7), (4; — 7), (4; — 5), (2; — 5), (3; — 4).

2)Պոչ (3; — 3), (5; — 3), (5; 3).

3) Աչք (- 1; 5).

Եվս մեկ պատկեր ընտրել ինտերնետից և գծել/կենդանի չլինի/։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է կոորդինատային առանցքը։

Ուղիղը, որի վրա ընտրված է սկզբնակետ, դրական ուղղություն և միավոր հատված, կոչվում է կոորդինատային առանցք։

2․ Ի՞նչն են անվանում կոորդինատային առանցքի կետի կոորդինատ։

Կոորդինատային առանցքի կամայական կետին նշված կանոնով համապատասխանեցրած թիվն անվանում են այդ կետի կոորդինատ։

3․ Ո՞ր հարթության է կոչվում  կոորդինատային հարթություն:

Դեռ XVII-րդ դարում ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Ռենե Դեկարտը (1596−1650) հարթության վրա կետի դիրքը նկարագրելու համար առաջարկեց երկու կոորդինատների մեթոդը: Այդ պատճառով կոորդինատային համակարգը կոչվում է նրա անունով:

4․ Քանի՞ մասի են բաժանում առանցքները կոորդինատային հարթությունը։

Կոորդինատային առանցքները հարթությունը բաժանում են 4 մասերի, որոնք կոչվում են քառորդներ:

I-ին քառորդում են գտնվում աբսցիսների և օրդինատների առանցքների դրական մասերը:

II-րդ քառորդում գտնվում են աբսցիսների առանցքի բացասական և օրդինատների առանցքի դրական մասերը:

III-րդ քառորդում են աբսցիսների և օրդինատների առանցքների բացասական մասերը:

IV-րդ քառորդում գտնվում են աբսցիսների առանցքի դրական և օրդինատների առանցքի բացասական մասերը:

5․ Կառուցել պատկերները կոորդինատային առանցքի վրա․
ա) (-9;-4), (-8;1), (-4;4), (-2;6), (-1,5;3,5), (1;1), (3;-3), (4;-5), (6;-5), (6;-3), (6;4), (7;6), (5;6), (4;5), (6;4);

բ)  (-12;1), (-5;3), (0;2), (4;1), (6;-3), (13;-2), (13;3), (4;1)։

6․ Կոորդինատային հարթության վրա կառուցե՛ք ABC եռանկյունը․
ա) A (+1, +1), B (+4, +2), C (+1, +5),

բ) A (+1, +2), B (–4, –2), C (–3, +3),

գ) A (–3, 0), B (+3, –2), C (+3, +2)

7․ Կոորդինատային հարթության վրա կառուցե՛ք ABCD քառանկյունը ․
ա) A (–3, +2), B (+1, +1), C (+2, –2), D (–3, –4),

բ) A (+4, 0), B (–2, +1), C (–3, –4), D (+4, –3)։

8․ Հետևյալ կետերով կառուցել կենդանու պատկեր GEOGEBRA ծրագրով։

ա) Ծիծեռնակ՝

(-5; 4), (-7; 4), (-9; 6), (-11; 6), (-12; 5), (-14; 5), (-12; 4), (-14; 3), (-12; 3), (-11; 2), (-10; 2),(-9; 1), (-9; 0), (-8; -2), (0; -3), (3; -2), (19; -2), (4; 0), (19; 4), (4; 2), (2; 3), (6; 9), (10; 11),  (3; 11), (1; 10), (-5; 4),
Աչք՝ (-10,5; 4,5)․

բ) Բադ՝

(3; 0), (1; 2), (-1; 2), (3; 5), (1; 8), (-3; 7), (-5; 8), (-3; 4), (-6; 3), (-3; 3), (-5; 2),(-5; -2), (-2;-3), (-4; -4), (1; -4), (3; -3), (6; 1), (3; 0) և (-1; 5)․

գ) Արջ՝

(4;-4), (4;-6), (8,5;-7,5), (9;-7), (9;-6), (9,5;-5), (9,5;-3,5), (10;-3), (9,5;-2,5), (4;5), (3;6), (2;6), (0;5),(-3;5), (-7;3), (-9;-1), (-8;-5), (-8;-7), (-4,5;-8), (-4,5;-7), (-5;-6,5), (-5;-6), (-4,5;-5), (-4;-5), (-4;-7), (-1;-7),(-1;-6), (-2;-6), (-1;-4), (1;-8), (3;-8), (3;-7), (2;-7), (2;-6), (3;-5), (3;-6), (5;-7),(7;-7),
Ականջ՝ (6;-4), (6;-3), (7;-2,5), (7,5;-3),
Աչք՝ (8;-6)․

դ) Նապաստակ՝
(5;1), (6;2), (6;3), (5;6), (4;7), (5;8), (6;8), (8;9), (9;9), (7;8), (9;8), (6;7), (7;6), (9;6), (11;5), (12;3), (12;2), (13;3), (12;1), (7;1), (8;2), (9;2), (8;3), (6;1), (5;1) և  (5;7)։

ե) Աղավնի՝

(-4;8), (-5;7), (-5;6), (-6;5), (-5;5), (-5;4), (-7;0), (-5;-5), (-1;-7), (3;-7), (9;-2), (13;-2), (14;-1), (6;1),(8;4), (15;7), (3;8), (2;7), (0;3), (-1;3), (-2;4), (-1;6), (-2;8), (-4;8)

զ) Շուն՝

(1;-3), (2;-3), (3;-2), (3;3), (4;3), (5;4), (5;6), (4;7), (3;7), (2;6), (3;5), (3;5,5), (4;5), (3;4), (2;5), (-3;5), (-4;6), (-4;9), (-5;10), (-5;11), (-6;10), (-7;10), (-7;10), (-7;8), (-9;8), (-9;7), (-8;6),(-6;6), (-7;3), (-6;2), (-6;-1), (-7;-2), (-7;-3), (-6;-3), (-4;-2), (-4;2), (1;2), (2;-1), (1;-2), (1;-3):

Թեմա՝ Ֆունկցիայի սահմանումը, պարզագույն օրինակներ։

Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:  

x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք: X բազմությունը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:

y=f(x) բանաձևում՝

x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը,

y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,

f-ը կանոնն է, որով ամեն x արգումենտի համար գտնվում է ֆունկցիայի y արժեքը:

Ուշադրություն

Ֆունկցիան տալու համար պետք է նկարագրել f օրենքը (կանոնը, եղանակը), որի օգնությամբ X բազմության ցանկացած x-ի համար կարելի է գտնել ֆունկցիայի y արժեքը:

Օրինակ

Ֆունկցիայի օրինակ է x և y փոփոխականների միջև y=2x առնչությունը:

Այս դեպքում կանոնը հետևյալն է՝ ցանկացած x թիվ պետք է կրկնապատկել, ստացված կրկնապատիկ թիվը՝ y=2x-ը կլինի ֆունկցիայի արժեքը x կետում:

Քանի որ ցանկացած թիվ կարելի է կրկնապատկել, ապա այս ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝  X բազմությունը, ամբողջ թվային առանցքն է:

Այս օրինակում ֆունկցիան տրվում է բանաձևի (y=2x) միջոցով: Գոյություն ունեն f օրենքը նկարագրելու (ֆունկցիայի տրման) այլ եղանակներ:  

Ֆունկցիայի տրման եղանակները

1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:

Եթե ունենք y=f(x),x∈X ֆունկցիան, և xOy հարթության վրա նշված են (x;y) տեսքի բոլոր կետերը, որտեղ x∈X, և y=f(x), ապա այդ կետերի բազմությունը կոչվում է y=f(x),x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Օրինակ

y=kx՝ուղիղ գիծ:  

2. Անալիտիկ եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է բանաձևի միջոցով:

y=2x+5 y=|x|

3. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով:

x	1	2	3	4
y	3	6	9	12

4. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝ (1;2), (2;4), (3;6)

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է ֆունկցիան։

Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:  

2․ Ինչպե՞ս են անվանում x-ը և y-ը։

x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք:

3․ Ի՞նչ եղանակներով կարելի է տալ ֆունկցիան։

1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:

2. Անալիտիկ եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է բանաձևի միջոցով:

3. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով:

4. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝ (1;2), (2;4), (3;6)

4․ Արդյո՞ք  այս s=2v արտահայտությունը ֆունկցիա է:

ա) այո բ) ոչ

5․ Ո՞րն է s=3v ֆունկցիայի կախյալ փոփոխականը:

ա) v բ) s գ) արտահայտությունը ֆունկցիա չէ

6․ Ֆունկցիան տրված է աղյուսակով: 

x	3	5	11
y	7	11	23

Լրացնել․

y=2x+1

ա) Եթե արգումենտի արժեքը 4-ն է, ապա ֆունկցիայի արժեքը հավասար է 9 ։

բ) եթե ֆունկցիայի արժեքը հավասար է 15-ի, ապա արգումենտը հավասար է 7։

7․ Գտնել  y=(x−3)/(x−1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը:

Որոշման տիրույթը 1 է։

 8․ա) Ո՞ր թիվը չի պատկանում f(x)=(2x+1)/(x−2) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին: 

ա) 3 բ) −2 գ) 1 դ) 2

բ) Գտնել ֆունկցիայի արժեքը՝ f(3)-ը:

f(3)=(6+1)/(3-2)=7

9․ Ֆունկցիան տրված է y=2x+7 բանաձևով։ Գտնել y(-2), y(3), y(8):

10.

Թեմա ՝ Ուղիղ և հակադարձ համեմատականություն։

Առաջադրանքներ։

1․ 100գ լուծույթը պարունակում է 4 գ աղ: Որքա՞ն  աղ է պարունակում 300գ այդպիսի լուծույթը:

300գ:100գ=3գ

4գx3=12գ

2․  4000գ լուծույթը պարունակում է 80գ աղ: Որքա՞ն աղ է պարունակում այդ լուծույթի 200գրամը:

4000գ:200գ=20գ

80գ:20գ=4գ

3․  4 հոգանոց բրիգադն առաջադրանքը կարող է կատարել 10 օրում: Քանի՞ օրում կկատարի նույն առաջադրանքը 5 հոգանոց մի այլ բրիգադ, եթե բոլոր 9 հոգին էլ հավասարապես լավ են աշխատում:

4-10օր

5-?օր

4/5=10/x

5x=40

x=8

4․ Գնացքը հաստատուն արագությամբ 6 ժամում անցավ 480 կմ: Քանի՞ կմ էր անցել գնացքն առաջին 2 ժամում:

480կմ:6ժ=80կմ

2ժx80կմ=160կմ

 5․ Բալի մուրաբա եփելու համար 6 կգ մրգի հետ վերցնում են 4 կգ շաքարավազ: Քանի՞ կգ շաքարավազ պետք է վերցնել 12 կգ մրգի դեպքում:

12կգ:6կգ=2կգ

2կգx4կգ=8կգ

6․  5 ներկարար կարող են ցանկապատը ներկել 8 օրում: Քանի՞ օրում նույն ցանկապատը կարող են ներկել 10 ներկարարը։

10ն․/5ն․=2ն․

8օր/2=4օր

7․ 7 մահուդն արժե այնքան, որքան 63մ չիթը: Քանի՞ մետր չիթ կարելի է գնել 14մ մահուդի փոխարեն:

14մ/7մ=2մ

63մx2մ=126մ

 8․ Որոշ քանակությամբ մատիտների համար վճարել են 800 դրամ: Ինչքա՞ն պետք է վճարել նույն տեսակի մատիտների համար, եթե նրանց քանակը.

ա) 2 անգամ մեծ է

800դրx2=1600դր

բ) 2 անգամ փոքր է

800դր:2=400դր

9․ Արկղում կա 48 տուփ 250 գրամանոց կանաչ թեյ: Այդքան կանաչ թեյից քանի՞ 150 գրամանոց տուփ կստացվի:

48տx250գ=12000գ=12կգ

12000գ/150գ=80տուփ

10․ 6 կգ նարնջի համար վճարեցին 4200 դրամ: Որքա՞ն կարժենա 20 կգ նարինջը:

4200դր:6կգ=700դր

700դրx20կգ=14.000դր

Ո՞ր մեծություններն են կոչվում հակադարձ համեմատական։

Երկու մեծություններ կոչվում են հակադարձ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը փոքրանում է (մեծանում է) նույնքան անգամ:

2․ Գրել հակադարձ համեմատականության տրման բանաձևը։

y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

3․ Ինչպե՞ս է կոչվում հաստատունը։

Հաստատունը կոչվում է k/9,8/:

4․ Լրացրու աղյուսակը:

z	2	4	20	20
y	50	25	5	5

5․ Ուշադիր նայիր այս աղյուսակին:

s	5	3	8	2
v	48	80	30	120

ա) Աղյուսակի կախումը հակադարձ համեմատական է:

բ) Ընտրել բանաձևը, որով տրվում է այս կախումը.  (s-ը և v-ն փոփոխականներ են, k-ն` թիվ է)

v=k⋅s k=v⋅s

գ) Գտիր k գործակիցը՝ k=240:

դ) Լրացնել աղյուսակի երկու պատուհանները:

6․ Բեռնատար մեքենան որոշ հեռավորություն 60 կմ/ժ արագությամբ անցավ 8 ժամում: Քանի՞ ժամում նույն հեռավորությունը կանցնի մարդատար ավտոմեքենան 80 կմ/ժ արագությամբ։

60կմ/ժ-8 ժամ

80կմ/ժ-x ժամ

60/8=80/x

60x=480

x=6

7․ Միրնույն ժամանակում հետիոտն անցավ 6 կմ, իսկ հեծանվորդը՝ 18 կմ։ Որքա՞ն ժամանակ կծախսի հետիոտն այն ճանապարհն անցնելու համար, որը հեծանվորդն անցնում է 2 ժամում։

6կմ-?ժ

18կմ-2ժ

6/x=18/2

18x=12

x=0,6=40 րոպե

/120:3=40 րոպե/

8․ 6 մարդ մի աշխատանք կատարում են 18 օրում։ Քանի՞ օրում կկատարեն այդ աշխատանքը 9 մարդ, եթե բոլոր 15-ը հավասարազոր աշխատողներ են։

6 մարդ-18 օր

9 մարդ-x օր

6/9=x/18

9x=108

x=12

9․ 6 ներկարար աշխատանքը կկատարեն 5 օրում։ Նույն արտադրողականությունն ունեցող քանի՞ ներկարար ևս պետք է հրավիրել, որպեսզի բոլորով միասին այդ նույն աշխատանքը կատարեն 3 օրում։

6 ներկարար=5 օր

3 օր=?

6/5=x/3

5x=18

x=3,6

Պատասխանը չի կարող համապատասխանել իրականությանը։

Թեմա՝՝ Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները:

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

Քանի վոր ապդ և ցբկ ուղանկյուն երանկըուներ հավասար էն։ Ըստ չորորդ հայտանի

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: Ապացուցել, որ AD=CB:

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:

Թեմա՝ Հակադարձ համեմատականություն:

Խնդիր: Երկու գյուղերի միջև հեռավորությունը 240 կմ է: Որոշիր, թե քանի՞ ժամում կարելի է մի գյուղից հասնել մյուս գյուղը, եթե 20 կմ/ժ արագությունը ավելացնել 2 անգամ, 3 անգամ, 4 անգամ:

Լրացրու աղյուսակը:

Արագությունը, կմ/ժ	20	40	60	80
Ժամանակը, ժ	12	6	4	3

Նկատենք, որ արագությունը 2 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 40 կմ/ժ), ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 2 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 6 ժ):

Նույն ձևով, արագությունը 3 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 60 կմ/ժ),  ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 3 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 4 ժ): 

Ուշադրություն

Արագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:

Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:

Երկու մեծություններ կոչվում են հակադարձ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը փոքրանում է (մեծանում է) նույնքան անգամ:

Ուշադրություն

Եթե երկու մեծությունները հակադարձ համեմատական են, ապա նրանց համապատասխան արժեքների արտադրյալները հավասար են:

Ստուգենք այս պնդումը վերևի խնդրի օրինակի վրա:

20⋅12=40⋅6=60⋅4=80⋅3=240

Ուղիղ համեմատականությունը տրվում է բանաձևի միջոցով:

y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:

Առաջադրանքներ:

1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում հակադարձ համեմատական։

Արագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:

Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:

2․ Գրել հակադարձ համեմատականության տրման բանաձևը։

y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

3․ Ինչպե՞ս է կոչվում հաստատունը։

k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:

4․ Լրացրու աղյուսակը:

z	2	4	20	20
y	50	25	5	5

5․ Ուշադիր նայիր այս աղյուսակին:

s	5	3	8	2
v	48	80	30	50

ա) Աղյուսակի կախումը  ….. համեմատական է:

բ) Ընտրել բանաձևը, որով տրվում է այս կախումը.  (s-ը և v-ն փոփոխականներ են, k-ն` թիվ է)

v=k⋅s k=v⋅s

գ) Գտիր k գործակիցը՝ k=

դ) Լրացնել աղյուսակի երկու պատուհանները:

6․ Բեռնատար մեքենան որոշ հեռավորություն 60 կմ/ժ արագությամբ անցավ 8 ժամում: Քանի՞ ժամում նույն հեռավորությունը կանցնի մարդատար ավտոմեքենան 80 կմ/ժ արագությամբ։

7․ Միրնույն ժամանակում հետիոտն անցավ 6 կմ, իսկ հեծանվորդը՝ 18 կմ։ Որքա՞ն ժամանակ կծախսի հետիոտն այն ճանապարհն անցնելու համար, որը հեծանվորդն անցնում է 2 ժամում։

8․ 6 մարդ մի աշխատանք կատարում են 18 օրում։ Քանի՞ օրում կկատարեն այդ աշխատանքը 9 մարդ, եթե բոլոր 15-ը հավասարազոր աշխատողներ են։

9․ 6 ներկարար աշխատանքը կկատարեն 5 օրում։ Նույն արտադրողականությունն ունեցող քանի՞ ներկարար ևս պետք է հրավիրել, որպեսզի բոլորով միասին այդ նույն աշխատանքը կատարեն 3 օրում։

Թեմա` Ուղիղ համեմատականություն:

Խնդիր: Քառակուսու կողմը 2 դմ է: Որոշիր, թե ինչպե՞ս կփոխվի քառակուսու պարագիծը, եթե նրա կողմը մեծանա 3 անգամ, 4 անգամ, 5 անգամ:

Քառակուսու կողմը, դմ	2	6	8	10
Քառակուսու պարագիծը, դմ	8	24	32	40

Նկատում ենք, որ քառակուսու կողմը 3 անգամ մեծացնելիս (2 դմ էր, դարձավ 6 դմ), նրա պարագիծը ևս մեծացավ 3 անգամ (8 դմ էր, դարձավ 24 դմ):

Նույն ձևով, եթե քառակուսու կողմը մեծանում է 4 անգամ (2 դմ էր, դարձավ 8 դմ), ապա նրա պարագիծը ևս մեծանում է 4 անգամ (8 դմ էր, դարձավ 32 դմ): 

Գալիս ենք եզրակացության, որ եթե քառակուսու կողմը մի քանի անգամ մեծանում է, ապա նույնքան անգամ մեծանում է նրա պարագիծը:

Ասում են, որ քառակուսու պարագիծը ուղիղ համեմատական է քառակուսու կողմին: 

Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:

Ուշադրություն

Եթե երկու մեծություններն ուղիղ համեմատական են, ապա նրանց համապատասխան արժեքների հարաբերությունները հավասար են:

Ստուգենք այս պնդումը վերևի խնդրի օրինակի վրա:

Յուրաքանչյուր դեպքում հաշվենք քառակուսու կողմի և պարագծի հարաբերությունները:

2/8=6/24=8/32=10/40=1/4

Ուղիղ համեմատականությունը տրվում է բանաձևի միջոցով:

y=kx բանաձևը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախման բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:

k հաստատունը կոչվում է համեմատականության գործակից:

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում ուղիղ համեմատական:

Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:

2․ Գրել ուղիղ համեմատականության տրման բանաձևը:

Ուղիղ համեմատականության գրաֆիկը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով;

3․ Ինչպե՞ս է կոչվում k հաստատունը:
k հաստատունը կոչվում է համեմատականության գործակից:

4․ Պարզել, թե արդյո՞ք մեծությունների բերվող կախվածությունը ուղիղ համեմատականություն է:  

ա) Կախվածությունը հաստատուն արագությամբ շարժվող մեքենայի անցած ճանապարհի և ծախսած ժամանակի միջև:
Ճիշտ է։

բ) Կախվածությունը կնոջ տարիքի և նրա գլխարկի չափի միջև:
Ճիշտ չե։

5․ Աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել դատարկ վանդակները:

Զանգված կգ	1	2	3	4	5
Գին (դրամ)	200	400	600	800	1000

6․ Լրացնել  հետևյալ աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրվածի եռապատիկ թվին:

տրված թիվը	2	3	4	5
եռապատիկ  թիվը	6	9	12	15

7․ Լրացնել աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրված թվի հինգերորդ մասին:

տրված թիվը	−40	−35	−30	−15
թվի հինգերորդ մասը	-8	-7	-6	-3

8․ Հայտնի է, որ աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել աղյուսակը:

Զանգված (կգ)	1	2	3	4	5
Գին (դրամ)	150	300	450	600	750

9․ Աղյուսակում բերված են երկու ուղիղ համեմատական մեծությունների արժեքներ: Լրացնել աղյուսակի դատարկ պատուհանները:

Երկարություն (դմ)	1	2	3	4	5
Զանգված կգ	10	20	30	40	50

10․ Ո՞ր դեպքում են մեծություններն ուղիղ համեմատական:

• Շեղանկյան անկյունը և շեղանկյան մակերեսը:
• Հրավիրված հյուրերի թիվը և պատվիրված խմորեղենի քանակը:
• Արշավախմբի անդամների թիվը և մեկ օրվա սննդամթերքի քանակը (սննդամթերքի ընդհանուր քանակը չի փոխվում):

1.Եռանկյունն ունի 23^o աստիճանի երկու անկյուն: Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

2.Տրված է AKM եռանկյունը: ∠A=36°, ∠M=98°: Որոշել ∠K անկյան մեծությունը:
98 + 36 = 134
180 – 134 = 46

3.Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 56° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:
90 + 56 = 146
180 – 146 = 34

4. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտնել ∠ADC-ն, եթե ∠C=48⁰։
DAC = 48 / 2 = 24
ADC = 24 + 48 = 72
180 – 72 = 108

5. Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠N:∠L:∠M=4:3:5
12x = 180
x = 15
N = 15 * 4 = 60
L = 15 * 3 = 45
M = 15 * 5 = 75

6. Տրված է CAB եռանկյունը: Նշել  A անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) AB բ) CA գ) CB

7. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 74 մ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է  22 մ-ի: Հաշվել եռանկյան հիմքը:
74 – 22 * 2 = 30

8. Տրված է ΔBCA, AC=BC: Եռանկյան հիմքը 11դմ-ով փոքր է սրունքից: BCA եռանկյան պարագիծը հավասար է 121դմ-ի: Հաշվել եռանկյան կողմերը:
X+X+X-11=121
3X=121+11
3X=132
X=44
44-11=33

9. Տրված են երեք հատվածների երկարությունները: Որոշել, թե արդյո՞ք դրանք կարող են լինել որևէ եռանկյան կողմեր:

ա)  11; 14; 20 ոչ այո

բ)  15; 16; 37 ոչ այո

գ) 18; 18; 18 ոչ այո

 10․ A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=3,5 սմ, BC=7 սմ: Գտնել ABC եռանկյան անկյունները:
7 / 3.5 = 2
<C = 30
<B = 60
<A = 90